Nierówności
Zadanie 5, maj 2018, poziom podstawowy
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności
\[\frac{1-2x}{2}>\frac13\]
jest przedział
**A.** \(\left(-\infty,\frac16\right)\)
**B.** \(\left(-\infty,\frac23\right)\)
**C.** \(\left(\frac16,+\infty\right)\)
**D.** \(\left(\frac23,+\infty\right)\)
Odpowiedź
**A.** \(x\in(-\infty,\frac16)\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** To nierówność liniowa z ułamkami. Standardowy pierwszy ruch: pomnożyć obie strony przez wspólny mianownik, żeby ułamki zniknęły. Mianowniki to \(2\) i \(3\), więc mnożymy przez \(6\).
**Krok \(2\).** Liczba \(6\) jest dodatnia, więc znak nierówności pozostaje bez zmian:
\[6\cdot\frac{1-2x}{2}\gt6\cdot\frac13.\]
**Krok \(3\).** Skracamy po obu stronach:
\[3(1-2x)\gt2.\]
**Krok \(4\).** Wymnażamy nawias:
\[3-6x\gt2.\]
**Krok \(5\).** Przenosimy \(3\) na prawą stronę (ze zmianą znaku):
\[-6x\gt2-3,\qquad\text{czyli}\qquad -6x\gt-1.\]
**Krok \(6\).** Dzielimy obie strony przez \(-6\). To liczba ujemna, więc zwrot nierówności odwracamy:
\[x\lt\frac{-1}{-6}=\frac16.\]
**Krok \(7\).** Zapisujemy zbiór rozwiązań jako przedział:
\[x\in\left(-\infty,\frac16\right).\]
**Uwaga.** Odwrócenie znaku przy dzieleniu przez liczbę ujemną jest tu jedyną naprawdę groźną pułapką. Kto o nim zapomni, dostanie \(x\gt\frac16\), czyli odpowiedź C. Można się zabezpieczyć, sprawdzając jedną liczbę: dla \(x=0\) lewa strona to \(\frac12\), a \(\frac12\gt\frac13\), więc \(0\) należy do rozwiązań — i rzeczywiście \(0\lt\frac16\).
**Odpowiedź.** A: \(x\in\left(-\infty,\frac16\right)\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi A
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
I. wykorzystanie i tworzenie informacji. **3.3:** zdający rozwiązuje nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.
