Liczby rzeczywiste
Zadanie 1, próbna styczeń 2003, poziom podstawowy
Powierzchnia prostokątnej działki budowlanej równa się \(1540\,\mathrm{m}^{2}\). Oblicz wymiary tej działki, wiedząc, że różnią się one o \(9\,\mathrm{m}\).
Odpowiedź
Wymiary działki: \(35\ \mathrm{m}\) oraz \(44\ \mathrm{m}\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Prostokąt ma dwa wymiary, a my znamy dwie informacje: pole (iloczyn wymiarów) oraz różnicę wymiarów. Wprowadzamy jedną niewiadomą — krótszy bok — i drugi bok wyrażamy przez nią. Po wstawieniu do wzoru na pole dostaniemy równanie kwadratowe.
**Krok \(2\).** Oznaczmy przez \(x\) długość krótszego boku działki (w metrach). Ponieważ boki różnią się o \(9\ \mathrm{m}\), dłuższy bok ma długość \(x+9\). Z natury zadania \(x\gt0\).
**Krok \(3\).** Zapisujemy warunek na pole:
\[x\,(x+9)=1540.\]
**Krok \(4\).** Przekształcamy do postaci ogólnej równania kwadratowego:
\[x^2+9x-1540=0.\]
**Krok \(5\).** Liczymy wyróżnik:
\[\Delta=9^2-4\cdot1\cdot(-1540)=81+6160=6241.\]
Pierwiastkujemy: \(\sqrt{6241}=79\) (rzeczywiście \(79^2=6241\); warto to sprawdzić, zauważając, że \(80^2=6400\), więc szukana liczba jest tuż poniżej \(80\), a kończy się cyfrą \(9\), bo \(9^2=81\)).
**Krok \(6\).** Wyznaczamy pierwiastki:
\[x_1=\frac{-9-79}{2}=-44,\qquad x_2=\frac{-9+79}{2}=35.\]
**Krok \(7\).** Długość boku musi być dodatnia, więc \(x_1=-44\) odrzucamy. Zostaje \(x=35\), a drugi bok ma długość \(35+9=44\).
**Krok \(8\).** Sprawdzenie: \(35\cdot44=1540\) oraz \(44-35=9\) — oba warunki zadania są spełnione.
**Uwaga.** Ujemnego rozwiązania nie wolno zostawić bez komentarza — trzeba wprost napisać, że odrzucamy je, bo długość boku nie może być ujemna. Pamiętaj też o jednostkach: wynik podajemy w metrach, bo pole było podane w metrach kwadratowych.
**Odpowiedź.** Wymiary działki: \(35\ \mathrm{m}\) oraz \(44\ \mathrm{m}\).
Klucz i zasady oceniania
**2. (1 pkt)** – przekształcenie równania do postaci \(x^{2}+9x-1540=0\) i rozwiązanie tego równania.
**3. (1 pkt)** – wybranie rozwiązania spełniającego warunki zadania i podanie wymiarów działki: \(35\) m oraz \(44\) m.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
