Równania kwadratowe
Zadanie 34, maj 2012, poziom podstawowy
Miasto \(A\) i miasto \(B\) łączy linia kolejowa długości \(210\,\mathrm{km}\). Średnia prędkość pociągu pospiesznego na tej trasie jest o \(24\,\mathrm{km/h}\) większa od średniej prędkości pociągu osobowego. Pociąg pospieszny pokonuje tę trasę o \(1\) godzinę krócej niż pociąg osobowy. Oblicz czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny.
Odpowiedź
Niech \(t\) oznacza czas jazdy pociągu osobowego, a \(v\) — jego średnią prędkość. Wtedy \(tv=210\) oraz \((t-1)(v+24)=210\). Po podstawieniu \(v=\frac{210}{t}\) otrzymujemy \(24t^{2}-24t-210=0\), czyli \(4t^{2}-4t-35=0\). Jedynym dodatnim rozwiązaniem jest \(t=3{,}5\) godziny, więc pociąg pospieszny jedzie \(3{,}5-1=2{,}5\) godziny.
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Metoda: korzystamy ze wzoru \(s=v\cdot t\) i układamy układ dwóch równań — jedno dla pociągu osobowego, drugie dla pospiesznego.
**Krok \(2\).** Wprowadzamy oznaczenia: niech \(v\) (w \(\mathrm{km/h}\)) będzie średnią prędkością pociągu osobowego, a \(t\) (w godzinach) — jego czasem przejazdu. Wtedy pociąg pospieszny ma prędkość \(v+24\) i czas przejazdu \(t-1\). Z natury zadania \(v\gt 0\) i \(t\gt 1\).
**Krok \(3\).** Zapisujemy oba przejazdy tej samej trasy o długości \(210\ \mathrm{km}\):
\[t\cdot v=210\qquad\text{oraz}\qquad (t-1)(v+24)=210.\]
**Krok \(4\).** Z pierwszego równania \(v=\frac{210}{t}\). Podstawiamy do drugiego:
\[(t-1)\left(\frac{210}{t}+24\right)=210.\]
**Krok \(5\).** Wykonujemy mnożenie i porządkujemy:
\[210+24t-\frac{210}{t}-24=210,\qquad\text{czyli}\qquad 24t-\frac{210}{t}-24=0.\]
Mnożymy obie strony przez \(t\neq 0\):
\[24t^{2}-24t-210=0,\qquad\text{czyli}\qquad 4t^{2}-4t-35=0.\]
**Krok \(6\).** Rozwiązujemy to równanie kwadratowe:
\[\Delta=(-4)^{2}-4\cdot 4\cdot(-35)=16+560=576,\qquad \sqrt{\Delta}=24,\]
\[t=\frac{4-24}{8}=-2{,}5\qquad\text{lub}\qquad t=\frac{4+24}{8}=3{,}5.\]
**Krok \(7\).** Odrzucamy \(t=-2{,}5\), bo czas musi być dodatni. Zostaje \(t=3{,}5\) godziny — to czas jazdy pociągu osobowego (jego prędkość to \(v=\frac{210}{3{,}5}=60\ \mathrm{km/h}\)).
**Krok \(8\).** Czas pociągu pospiesznego jest o godzinę krótszy:
\[t-1=3{,}5-1=2{,}5\ \text{godziny}.\]
Sprawdzenie: prędkość pospiesznego to \(60+24=84\ \mathrm{km/h}\), a \(84\cdot 2{,}5=210\ \mathrm{km}\) — zgadza się.
**Uwaga.** Pytanie dotyczy pociągu pospiesznego, a rozwiązaniem równania jest czas pociągu osobowego. Łatwo zatrzymać się o krok za wcześnie i podać \(3{,}5\) godziny.
**Odpowiedź.** Pociąg pospieszny pokonuje trasę w czasie \(2{,}5\) godziny.
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: zapisanie poprawnej zależności z dwiema niewiadomymi, np. (t − 1)(v + 24) = 210.
2 pkt: zapisanie poprawnego układu równań.
3 pkt: doprowadzenie do równania z jedną niewiadomą.
4 pkt: rozwiązanie do końca z drobną usterką albo obliczenie tylko czasu pociągu osobowego 3,5 h.
5 pkt: obliczenie czasu pociągu pospiesznego 2,5 h.
Wymagania podstawy programowej
Modelowanie matematyczne. Rozwiązanie zadania umieszczonego w kontekście praktycznym, prowadzącego do równania kwadratowego (III.3.b).
