Odczytywanie własności z wykresu
Zadanie 31, zbiór zadań z informatora 2025, poziom rozszerzony
W mieście jest prostopadły układ dwukierunkowych ulic. W centrum znajduje się park, w którym obowiązuje całkowity zakaz ruchu pojazdów. Schemat ulic wraz z położeniem parku przedstawiono na rysunku. Tomek chce dojechać samochodem najkrótszą drogą z punktu \(A\) do punktu \(B\).
Oblicz, ile jest możliwości wyboru najkrótszej drogi z \(A\) do \(B\). Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
Istnieje \(30140\) najkrótszych dróg.
Rozwiązanie krok po kroku
Każda najkrótsza droga omijająca park przechodzi przez jeden z pięciu punktów granicznych \(C,D,E,F,G\). Liczby dróg przez te punkty wynoszą odpowiednio
\[\binom{11}{2}\binom{13}{0}=55,\]
\[\binom{11}{3}\binom{13}{1}=2145,\]
\[\binom{11}{4}\binom{13}{2}=25740,\]
\[\binom{13}{1}\binom{11}{3}=2145,\]
\[\binom{13}{0}\binom{11}{2}=55.\]
Po zsumowaniu otrzymujemy
\[55+2145+25740+2145+55=30140.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda i wynik \(30140\).
**3 pkt** – obliczenie liczby dróg z \(A\) do każdego punktu granicznego.
**2 pkt** – zapisanie iloczynowej zasady liczenia dróg przez punkt pośredni.
**1 pkt** – wskazanie, że każda najkrótsza droga przechodzi przez jeden z punktów \(C-G\).
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji - […] operowanie informacjami przedstawionymi w tekście […] w formie wykresów, diagramów […].
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.
IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
XI. Kombinatoryka.
1R) Zdający oblicza liczbę możliwych sytuacji, spełniających określone kryteria, z wykorzystaniem reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) oraz wzorów na liczbę: permutacji, kombinacji i wariacji;
2R) Zdający stosuje współczynnik dwumianowy (symbol Newtona) i jego własności przy rozwiązywaniu problemów kombinatorycznych.
