Procenty i oprocentowanie
Zadanie 30, zbiór zadań z informatora 2025, poziom rozszerzony
Pewna choroba atakuje \(0{,}2\%\) całej populacji. Prawdopodobieństwo tego, że test przesiewowy wykonany na osobie chorej da wynik pozytywny, jest równe \(0{,}99\). Prawdopodobieństwo tego, że test wykonany na osobie zdrowej da wynik negatywny, jest równe \(0{,}98\). Pan X poddał się testowi, który dał wynik pozytywny.
Oblicz prawdopodobieństwo tego, że pan X jest naprawdę chory. Wynik zapisz w postaci ułamka dziesiętnego w zaokrągleniu do części setnych. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
Prawdopodobieństwo wynosi około \(0{,}09\).
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(C\) oznacza chorobę, \(Z\) zdrowie, a \(+\) wynik pozytywny. Mamy
\[P(C)=0{,}002,\quad P(Z)=0{,}998,\quad P(+|C)=0{,}99,\quad P(+|Z)=0{,}02.\]
Z twierdzenia Bayesa
\[P(C|+)=\frac{P(+|C)P(C)}{P(+|C)P(C)+P(+|Z)P(Z)}\]
\[=\frac{0{,}99\cdot0{,}002}{0{,}99\cdot0{,}002+0{,}02\cdot0{,}998}=\frac{99}{1097}\approx0{,}09.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i wynik \(0{,}09\).
**2 pkt** – poprawne zastosowanie wzoru Bayesa.
**1 pkt** – obliczenie brakujących prawdopodobieństw warunkowych.
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi […].
**Wymagania szczegółowe:**
XII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka.
1R) Zdający […] stosuje wzór Bayesa […].
