Prosta w układzie współrzędnych
Zadanie 34, wrzesień 2020, poziom podstawowy
Prosta o równaniu
\[y=-2x+7\]
jest symetralną odcinka \(PQ\), gdzie \(P=(4,5)\). Oblicz współrzędne punktu \(Q\).
Odpowiedź
\[Q=\left(-\frac45,\frac{13}{5}\right).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Prosta \(PQ\) jest prostopadła do symetralnej, więc jej współczynnik kierunkowy wynosi \(\frac12\). Ponieważ przechodzi przez \(P=(4,5)\), ma równanie
\[y=\frac12x+3.\]
Punkt przecięcia tej prostej z symetralną jest środkiem \(S\) odcinka \(PQ\). Rozwiązujemy układ
\[y=-2x+7,\qquad y=\frac12x+3.\]
Stąd
\[-2x+7=\frac12x+3,\qquad x=\frac85,\qquad y=\frac{19}{5}.\]
Zatem \(S=(\frac85,\frac{19}{5})\). Korzystając ze wzoru na środek odcinka, otrzymujemy
\[\frac{4+x_Q}{2}=\frac85,\qquad \frac{5+y_Q}{2}=\frac{19}{5}.\]
Stąd
\[x_Q=-\frac45,\qquad y_Q=\frac{13}{5},\]
czyli \(Q=(-\frac45,\frac{13}{5})\).
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – obliczenie i zapisanie \(Q=(-\frac45,\frac{13}{5})\)
**4 pkt** – rozwiązanie doprowadzone do końca z drobną usterką rachunkową lub w przepisaniu
**3 pkt** – zapisanie równań pozwalających obliczyć obie współrzędne punktu \(Q\) albo jednego równania z jedną niewiadomą prowadzącego do współrzędnej \(Q\)
**2 pkt** – obliczenie środka \(S=(\frac85,\frac{19}{5})\) albo równoważny istotny postęp określony w kluczu CKE
**1 pkt** – wyznaczenie prostej \(PQ\): \(y=\frac12x+3\), albo inny konieczny krok wskazany w kluczu CKE
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2020 nie zawiera tabeli wymagań.
**Klasyfikacja rzeczowa:** geometria analityczna - proste prostopadłe, punkt przecięcia prostych oraz środek odcinka.
