Geometria analityczna
Zadanie 36, sierpień 2023, poziom podstawowy
Punkty
\[A=\left(\frac{22}{5},-\frac{21}{5}\right),\qquad B=(6,7),\qquad C=(-9,2)\]
są wierzchołkami trójkąta \(ABC\). Symetralna boku \(AB\) przecina bok \(BC\) w punkcie \(D\). Oblicz współrzędne punktu \(D\).
Odpowiedź
\(D=(-6,3)\)
Rozwiązanie krok po kroku
Prosta \(BC\) ma współczynnik kierunkowy
\[a_{BC}=\frac{7-2}{6-(-9)}=\frac13,\]
więc jej równanie to
\[y=\frac13x+5.\]
Środek odcinka \(AB\) ma współrzędne
\[S=\left(\frac{\frac{22}{5}+6}{2},\frac{-\frac{21}{5}+7}{2}\right)=\left(\frac{26}{5},\frac75\right).\]
Współczynnik kierunkowy prostej \(AB\) jest równy \(7\), zatem współczynnik kierunkowy jej symetralnej wynosi \(-\frac17\). Symetralna przechodzi przez \(S\), więc ma równanie
\[y=-\frac17x+\frac{15}{7}.\]
Punkt \(D\) jest przecięciem tej prostej z \(BC\). Rozwiązujemy układ
\[\begin{cases}y=-\frac17x+\frac{15}{7},\\ y=\frac13x+5.\end{cases}\]
Otrzymujemy \(x=-6\) i \(y=3\), czyli
\[D=(-6,3).\]
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – poprawna metoda i wynik \(D=(-6,3)\)
**4 pkt** – wyznaczenie obu równań: \(y=\frac13x+5\) oraz \(y=-\frac17x+\frac{15}{7}\), albo równoważna poprawna realizacja metodą twierdzenia Pitagorasa wskazana w kluczu
**3 pkt** – wyznaczenie równania symetralnej \(y=-\frac17x+\frac{15}{7}\); klucz dopuszcza także wskazane równoważne zestawy istotnych kroków
**2 pkt** – spełnienie dwóch z trzech kryteriów za 1 punkt albo obliczenie współczynnika kierunkowego symetralnej \(-\frac17\)
**1 pkt** – wyznaczenie równania \(BC\): \(y=\frac13x+5\), współczynnika kierunkowego \(AB\): \(7\), albo środka \(S=\left(\frac{26}{5},\frac75\right)\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych.
**Klasyfikacja rzeczowa:** geometria analityczna - równania prostych, warunek prostopadłości, symetralna odcinka i punkt przecięcia prostych.
