Równania i nierówności
Zadanie 35, maj 2021, poziom podstawowy
Punkty \(A=(-20,12)\) i \(B=(7,3)\) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Wierzchołek \(C\) leży na osi \(Oy\) układu współrzędnych. Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) oraz obwód tego trójkąta.
Odpowiedź
\[C=(0,27),\qquad L=50+9\sqrt{10}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Ponieważ punkt \(C\) leży na osi \(Oy\), zapisujemy \(C=(0,y)\). Warunek \(|AC|=|BC|\) możemy podnieść stronami do kwadratu:
\[(0+20)^2+(y-12)^2=(0-7)^2+(y-3)^2.\]
Po rozwinięciu otrzymujemy
\[400+y^2-24y+144=49+y^2-6y+9,\]
\[-18y=-486,\qquad y=27.\]
Zatem \(C=(0,27)\). Obliczamy długości boków:
\[|AC|=|BC|=\sqrt{20^2+15^2}=25,\]
\[|AB|=\sqrt{27^2+(-9)^2}=\sqrt{810}=9\sqrt{10}.\]
Obwód trójkąta jest równy
\[L=|AC|+|BC|+|AB|=50+9\sqrt{10}.\]
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – poprawne wyznaczenie \(C=(0,27)\) oraz obwodu \(L=50+9\sqrt{10}\)
**4 pkt** – poprawne wyznaczenie punktu \(C\) oraz długości \(|AB|=9\sqrt{10}\) lub \(|BC|=25\)
**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i wyznaczenie \(C=(0,27)\)
**2 pkt** – zapisanie równania symetralnej \(y=3x+27\), równania z warunku \(|AC|=|BC|\) wraz z \(C=(0,y)\) albo równoważnego układu równań
**1 pkt** – wykonanie istotnego kroku, np. przyjęcie \(C=(0,y)\), zapisanie warunku \(|AC|=|BC|\), wyznaczenie równania prostej \(AB\), środka odcinka \(AB\) albo obliczenie \(|AB|=9\sqrt{10}\)
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
8.1, 8.3, 8.4 i 8.6 wyznaczanie równań prostych, prostych prostopadłych, punktu przecięcia prostych oraz odległości dwóch punktów.
