Geometria analityczna
Zadanie 36, czerwiec 2024, poziom podstawowy
W układzie współrzędnych \((x,y)\) dane są punkty \(A=(2,8)\) oraz \(B=(10,2)\). Symetralna odcinka \(AB\) przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punkcie \(P\).
Oblicz współrzędne punktu \(P\) **oraz** obwód trójkąta \(ABP\).
Odpowiedź
\[P=\left(\frac94,0\right),\qquad L=10+\frac{5\sqrt{41}}2.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Środek odcinka \(AB\) ma współrzędne
\[M=\left(\frac{2+10}{2},\frac{8+2}{2}\right)=(6,5).\]
Współczynnik kierunkowy prostej \(AB\) jest równy
\[a_{AB}=\frac{2-8}{10-2}=-\frac34.\]
Symetralna odcinka \(AB\) jest prostopadła do \(AB\), więc jej współczynnik kierunkowy wynosi \(\frac43\). Ponieważ przechodzi przez \(M\), ma równanie
\[y-5=\frac43(x-6),\]
czyli
\[y=\frac43x-3.\]
Punkt \(P\) leży na osi \(Ox\), zatem \(y=0\). Otrzymujemy
\[0=\frac43x-3,\qquad x=\frac94,\]
a więc
\[P=\left(\frac94,0\right).\]
Obliczamy długość boku \(AB\):
\[|AB|=\sqrt{(10-2)^2+(2-8)^2}=10.\]
Ponieważ \(P\) leży na symetralnej odcinka \(AB\), mamy \(|AP|=|BP|\). Ponadto
\[|AP|=\sqrt{\left(\frac94-2\right)^2+(0-8)^2}=\sqrt{\frac1{16}+64}=\frac{5\sqrt{41}}4.\]
Obwód trójkąta \(ABP\) jest więc równy
\[L=|AB|+|AP|+|BP|=10+2\cdot\frac{5\sqrt{41}}4=10+\frac{5\sqrt{41}}2.\]
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – poprawna metoda oraz oba poprawne wyniki: \(P=\left(\frac94,0\right)\) i \(L=10+\frac{5\sqrt{41}}2\)
**4 pkt** – obliczenie współrzędnych punktu \(P\) oraz długości jednego z boków trójkąta: \(|AB|=10\) lub \(|AP|=\frac{5\sqrt{41}}4\)
**3 pkt** – obliczenie \(|AB|=10\) oraz wyznaczenie równania symetralnej \(y=\frac43x-3\), zapisanie równoważnego układu albo obliczenie \(P=\left(\frac94,0\right)\)
**2 pkt** – obliczenie \(|AB|=10\) i wykonanie jednego istotnego kroku, np. wyznaczenie \(M=(6,5)\), współczynnika \(a_{AB}=-\frac34\), warunku \(y_P=0\) albo równania \(|AP|=|BP|\)
**1 pkt** – obliczenie \(|AB|=10\) albo wykonanie jednego z wymienionych wyżej istotnych kroków
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
8.1) Zdający wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty.
8.3) Zdający wyznacza równanie prostej prostopadłej do danej prostej i przechodzącej przez dany punkt.
8.4) Zdający oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych.
8.5) Zdający wyznacza współrzędne środka odcinka.
8.6) Zdający oblicza odległość dwóch punktów.
