Prosta w układzie współrzędnych
Zadanie 35, czerwiec 2022, poziom podstawowy
Punkt \(A=(1,-3)\) jest wierzchołkiem trójkąta \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Punkt \(S=(5,-1)\) jest środkiem odcinka \(AB\). Wierzchołek \(C\) tego trójkąta leży na prostej o równaniu
\[y=x+10.\]
**Oblicz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(C\) tego trójkąta.**
Odpowiedź
\[B=(9,1),\qquad C=\left(-\frac13,\frac{29}{3}\right).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Ponieważ \(S=(5,-1)\) jest środkiem odcinka \(AB\), mamy
\[\frac{1+x_B}{2}=5,\qquad\frac{-3+y_B}{2}=-1.\]
Stąd \(B=(9,1)\).
Warunek \(|AC|=|BC|\) oznacza, że punkt \(C\) leży na symetralnej odcinka \(AB\). Współczynnik kierunkowy prostej \(AB\) jest równy
\[a_{AB}=\frac{1-(-3)}{9-1}=\frac12,\]
więc symetralna ma współczynnik \(-2\) i przechodzi przez \(S\):
\[y+1=-2(x-5),\qquad y=-2x+9.\]
Punkt \(C\) leży również na prostej \(y=x+10\), zatem
\[-2x+9=x+10.\]
Stąd \(x_C=-\frac13\) oraz
\[y_C=x_C+10=\frac{29}{3}.\]
Ostatecznie
\[B=(9,1),\qquad C=\left(-\frac13,\frac{29}{3}\right).\]
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – poprawna metoda i oba wyniki: \(B=(9,1)\), \(C=\left(-\frac13,\frac{29}{3}\right)\)
**4 pkt** – wyznaczenie \(B=(9,1)\) i poprawnego równania z jedną niewiadomą prowadzącego do punktu \(C\), albo poprawne wyznaczenie punktu \(C\) bez poprawnego punktu \(B\)
**3 pkt** – wyznaczenie \(B=(9,1)\) i równania symetralnej \(y=-2(x-5)-1\), albo równania odległości wynikającego z \(|AC|=|BC|\)
**2 pkt** – spełnienie dwóch spośród warunków: wyznaczenie \(B=(9,1)\), obliczenie \(a_{AB}=\frac12\), zapisanie \(C=(x,x+10)\)
**1 pkt** – spełnienie jednego z powyższych trzech warunków
**0 pkt** – brak poprawnego postępu
**Uwaga CKE:** błędny współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do \(AB\) i konsekwentne dokończenie rozwiązania pozwala uzyskać najwyżej \(2\) pkt.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
8.1, 8.3 i 8.4 wyznaczanie równania prostej przez dwa punkty, równania prostej równoległej lub prostopadłej do danej prostej oraz współrzędnych punktu przecięcia dwóch prostych.
