Równania i nierówności
Zadanie 6, próbna styczeń 2005, poziom podstawowy
Prosta \(l\) tworzy z osią \(x\) kąt o mierze \(45^\circ\) i przechodzi przez punkt \(M=(-2,2)\). Prosta \(k\), prostopadła do prostej \(l\), przecina oś \(x\) w punkcie o odciętej \(x_0=-3\).
a) Wyznacz równania prostych \(l\) i \(k\).
b) Oblicz długość najdłuższego boku trójkąta, którego boki zawierają się w prostych \(l\) i \(k\) oraz w osi \(y\).
Odpowiedź
a) \(l\colon y=x+4\) oraz \(k\colon y=-x-3\). b) Najdłuższy bok trójkąta zawiera się w osi \(OY\) i ma długość \(7\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy dane. Kąt, jaki prosta tworzy z osią \(Ox\), przekłada się bezpośrednio na współczynnik kierunkowy: \(a=\operatorname{tg}\alpha\). Prostopadłość dwóch prostych o współczynnikach \(a_1\) i \(a_2\) oznacza \(a_1\cdot a_2=-1\). Mając współczynnik kierunkowy i jeden punkt prostej, wyznaczamy wyraz wolny.
**Krok \(2\).** Współczynnik kierunkowy prostej \(l\):
\[a_l=\operatorname{tg}45^\circ=1,\qquad\text{czyli }l:\ y=x+b.\]
**Krok \(3\).** Wyznaczamy \(b\), wstawiając współrzędne punktu \(M=(-2,2)\):
\[2=-2+b,\qquad b=4,\qquad l:\ y=x+4.\]
**Krok \(4\).** Prosta \(k\) jest prostopadła do \(l\), więc \(a_k\cdot 1=-1\), czyli \(a_k=-1\). Zatem \(k:\ y=-x+c\).
**Krok \(5\).** Prosta \(k\) przecina oś \(Ox\) w punkcie \((-3,0)\), więc
\[0=-(-3)+c,\qquad 0=3+c,\qquad c=-3,\qquad k:\ y=-x-3.\]
**Krok \(6\).** Podpunkt b). Wyznaczamy wierzchołki trójkąta jako punkty przecięcia par prostych:
- \(l\) z osią \(Oy\) (czyli \(x=0\)): \(A=(0,4)\);
- \(k\) z osią \(Oy\): \(B=(0,-3)\);
- \(l\) z \(k\): \(x+4=-x-3\), stąd \(2x=-7\), \(x=-\frac72\) i \(y=-\frac72+4=\frac12\), czyli \(C=\left(-\frac72,\frac12\right)\).
**Krok \(7\).** Liczymy długość boku leżącego na osi \(Oy\). Punkty \(A\) i \(B\) mają tę samą odciętą, więc
\[|AB|=|4-(-3)|=7.\]
**Krok \(8\).** Uzasadniamy, że to najdłuższy bok. Proste \(l\) i \(k\) są prostopadłe, więc trójkąt \(ABC\) jest prostokątny z kątem prostym przy wierzchołku \(C\). Bok \(AB\) leży naprzeciw kąta prostego — jest przeciwprostokątną, a przeciwprostokątna jest zawsze dłuższa od każdej z przyprostokątnych.
**Krok \(9\).** Dla kontroli liczymy pozostałe boki:
\[|AC|=\sqrt{\left(0+\tfrac72\right)^2+\left(4-\tfrac12\right)^2}=\sqrt{2\cdot\left(\tfrac72\right)^2}=\frac{7\sqrt2}{2}\approx 4{,}95,\]
i tak samo \(|BC|=\frac{7\sqrt2}{2}\). Rzeczywiście \(7\gt 4{,}95\).
**Uwaga.** Polecenie wymaga OBLICZENIA długości najdłuższego boku, więc trzeba jeszcze uzasadnić, że to właśnie bok na osi \(Oy\) jest najdłuższy — samo podanie liczby \(7\) to tylko część punktów. Najszybsze uzasadnienie to spostrzeżenie o kącie prostym przy \(C\); wystarczy też rzetelny szkic w układzie współrzędnych lub porównanie wszystkich trzech długości.
**Odpowiedź.** a) \(l\colon y=x+4\) oraz \(k\colon y=-x-3\). b) Najdłuższy bok trójkąta zawiera się w osi \(OY\) i ma długość \(7\).
Klucz i zasady oceniania
**1. (1 pkt)** – Wyznaczenie równania prostej \(k\): \(y=-x-3\)
**2. (2 pkt)** – Obliczenie długości najdłuższego boku trójkąta, z uzasadnieniem, że bok zawarty w osi \(y\) jest najdłuższy: długość równa \(7\) (jeśli uczeń tylko poda długość to otrzymuje 1 punkt; uzasadnieniem może być również szkic w układzie współrzędnych)
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
