Liczby rzeczywiste
Zadanie 1, zbiór zadań z informatora 2010, poziom mieszany
Liczba \(3^{30}\cdot9^{90}\) jest równa
**A.** \(3^{210}\)
**B.** \(3^{300}\)
**C.** \(9^{120}\)
**D.** \(27^{2700}\)
Odpowiedź
**A.** \(3^{210}\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Iloczyn \(3^{30}\cdot9^{90}\) ma dwie różne podstawy, więc praw działań na potęgach nie da się zastosować od razu. Kluczowe spostrzeżenie: liczba \(9\) sama jest potęgą trójki, więc wszystko sprowadzimy do wspólnej podstawy \(3\).
**Krok \(2\).** Zapisujemy \(9=3^2\) i korzystamy z reguły potęgowania potęgi (wykładniki mnożymy):
\[9^{90}=\left(3^2\right)^{90}=3^{2\cdot90}=3^{180}.\]
**Krok \(3\).** Teraz mamy iloczyn potęg o tej samej podstawie, więc wykładniki dodajemy:
\[3^{30}\cdot3^{180}=3^{30+180}=3^{210}.\]
**Krok \(4\).** Otrzymany wynik to \(3^{210}\), czyli wariant **A**.
**Krok \(5\).** Sprawdźmy przy okazji odpowiedź C, bo wygląda podobnie:
\[9^{120}=\left(3^2\right)^{120}=3^{240}\neq3^{210}.\]
Nie jest to więc ta sama liczba.
**Uwaga.** Dwie reguły łatwo pomylić: przy potęgowaniu potęgi wykładniki **mnożymy** (\(\left(3^2\right)^{90}=3^{180}\)), a przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie — **dodajemy** (\(3^{30}\cdot3^{180}=3^{210}\)). Wykładniki \(30\) i \(180\) na pewno nie mnożymy.
**Odpowiedź.** A: \(3^{210}\)
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Odpowiedź: A.
Wymagania podstawy programowej
Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Liczby rzeczywiste.
