Liczby rzeczywiste
Zadanie 3, sierpień 2016, poziom podstawowy
\(4 5 \cdot 5 4\)
Liczba jest równa
\(4\)
\(20\)
A. \(4\) \(4\) B. \(20\) \(16\) C. \(20\) \(5\) D. \(4\)
Odczyt redakcyjny — zapis matematyczny w arkuszu jest rozbity
Prawdopodobny zapis: „Liczba \(\frac{4^5\cdot 5^4}{20^4}\) jest równa” z wariantami **A.** \(4^4\) **B.** \(20^{16}\) **C.** \(20^5\) **D.** \(4\).
licznik ułamka trafił do osobnego wiersza nad wierszem z tekstem „Liczba ... jest równa” i ma postać „\(4 5 \cdot 5 4\)”, czyli \(4^5\cdot 5^4\) z wykładnikami zsuniętymi do linii bazowej; mianownik rozpadł się na dwa wiersze pod kreską ułamkową — najpierw wyniesiony wykładnik „\(4\)”, potem podstawa „\(20\)”, czyli \(20^4\). W wariantach pary „\(20\) \(16\)” i „\(20\) \(5\)” to \(20^{16}\) i \(20^5\), a samotne „\(4\)” w D to zwykła liczba \(4\). Rachunek potwierdza odczyt: \(\frac{4^5\cdot 5^4}{20^4}=\frac{4^5\cdot 5^4}{4^4\cdot 5^4}=4\), czyli odpowiedź D; dystraktory to typowe błędy na wykładnikach — \(4\cdot 5=20\) i \(5\cdot 4=20\), \(20-4=16\) (B) oraz \(5+4=9\), \(9-4=5\) (C).
Odpowiedź
**D.** \(4\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** W liczniku stoją potęgi \(4^{5}\cdot 5^{4}\), a w mianowniku \(20^{4}\). Nie obliczamy tych potęg — zauważamy, że \(20=4\cdot 5\), więc mianownik da się zapisać przez te same podstawy co licznik i wszystko się skróci.
**Krok \(2\).** Korzystamy ze wzoru \((a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}\):
\[20^{4}=(4\cdot 5)^{4}=4^{4}\cdot 5^{4}.\]
**Krok \(3\).** Zapisujemy całe wyrażenie w jednej postaci:
\[\frac{4^{5}\cdot 5^{4}}{20^{4}}=\frac{4^{5}\cdot 5^{4}}{4^{4}\cdot 5^{4}}.\]
**Krok \(4\).** Skracamy \(5^{4}\), bo ten sam czynnik stoi w liczniku i w mianowniku, a potem korzystamy z prawa \(\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}\):
\[\frac{4^{5}}{4^{4}}=4^{5-4}=4^{1}=4.\]
**Krok \(5\).** Kontrola rachunkiem: \(4^{5}=1024\), \(5^{4}=625\), \(20^{4}=160\,000\), a
\[\frac{1024\cdot 625}{160\,000}=\frac{640\,000}{160\,000}=4.\]
**Uwaga.** Nie wolno skracać osobno podstaw ani osobno wykładników. Skracamy dopiero wtedy, gdy licznik i mianownik są zapisane jako iloczyny potęg o tych samych podstawach.
**Odpowiedź.** D. \(4\)
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 3.
Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.
