Liczby rzeczywiste
Zadanie 4, sierpień 2014, poziom podstawowy
Liczba
\[(\sqrt5-\sqrt3)^2+2\sqrt{15}\]
jest równa
**A.** \(2+2\sqrt{15}\)
**B.** \(8\)
**C.** \(2+4\sqrt{15}\)
**D.** \(2\)
Odpowiedź
**B.** \(8\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy strukturę: mamy kwadrat różnicy dwóch pierwiastków, więc stosujemy wzór skróconego mnożenia
\[(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2},\]
przyjmując \(a=\sqrt5\) i \(b=\sqrt3\).
**Krok \(2\).** Liczymy kwadraty. Dla liczby nieujemnej \(\left(\sqrt{t}\right)^{2}=t\), więc
\[\left(\sqrt5\right)^{2}=5,\qquad\left(\sqrt3\right)^{2}=3.\]
**Krok \(3\).** Liczymy wyraz środkowy, korzystając z tego, że \(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\):
\[2\cdot\sqrt5\cdot\sqrt3=2\sqrt{15}.\]
**Krok \(4\).** Składamy kwadrat różnicy:
\[\left(\sqrt5-\sqrt3\right)^{2}=5-2\sqrt{15}+3=8-2\sqrt{15}.\]
**Krok \(5\).** Dodajemy drugi składnik z treści zadania:
\[\left(\sqrt5-\sqrt3\right)^{2}+2\sqrt{15}=8-2\sqrt{15}+2\sqrt{15}=8.\]
**Uwaga.** Nie wolno napisać \(\left(\sqrt5-\sqrt3\right)^{2}=5-3\) — kwadrat różnicy to nie różnica kwadratów. To właśnie wyraz środkowy \(-2\sqrt{15}\) redukuje się z \(+2\sqrt{15}\) i dlatego wynik jest liczbą całkowitą.
**Odpowiedź.** B: \(8\)
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 4. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.
