Potęgi i pierwiastki
Zadanie 2, sierpień 2010, poziom podstawowy
Iloczyn \(81^2\cdot9^4\) jest równy
**A.** \(3^4\)
**B.** \(3^0\)
**C.** \(3^{16}\)
**D.** \(3^{14}\)
Odpowiedź
**C.** \(3^{16}\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy, czego wymaga zadanie: wszystkie odpowiedzi są potęgami liczby \(3\), więc czynniki \(81\) i \(9\) trzeba najpierw zapisać jako potęgi trójki, a potem skorzystać z praw działań na potęgach.
**Krok \(2\).** Rozkładamy podstawy:
\[81=3\cdot3\cdot3\cdot3=3^{4},\qquad 9=3\cdot3=3^{2}.\]
**Krok \(3\).** Przekształcamy pierwszy czynnik wzorem na potęgę potęgi \(\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m\cdot n}\):
\[81^{2}=\left(3^{4}\right)^{2}=3^{4\cdot2}=3^{8}.\]
**Krok \(4\).** Tak samo drugi czynnik:
\[9^{4}=\left(3^{2}\right)^{4}=3^{2\cdot4}=3^{8}.\]
**Krok \(5\).** Mnożymy potęgi o tej samej podstawie, czyli dodajemy wykładniki:
\[81^{2}\cdot9^{4}=3^{8}\cdot3^{8}=3^{8+8}=3^{16}.\]
**Uwaga.** Przy mnożeniu potęg o wspólnej podstawie wykładniki **dodajemy**, a przy potęgowaniu potęgi **mnożymy**. Pomylenie tych dwóch reguł daje tu \(3^{64}\) albo \(3^{4}\), czyli odpowiedzi spoza sensu zadania.
**Odpowiedź.** C: \(3^{16}\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Liczby rzeczywiste – stosuje prawa działań na potęgach.
