Potęgi i pierwiastki
Zadanie 1, próbna styczeń 2006, poziom podstawowy
Dane są liczby:
\[a=\frac{3\sqrt3-4}{1+2\sqrt3},\qquad b=\sqrt{27}\cdot\frac{\left(\frac19\right)^3}{3^{-5}}.\]
a) Przedstaw liczbę \(a\) w postaci \(x+y\sqrt3\), gdzie \(x\) i \(y\) są liczbami wymiernymi.
b) Zapisz liczbę \(b\) w postaci potęgi liczby \(3\) o wykładniku ułamkowym.
c) Suma liczb \(a\) i \(b\) stanowi \(80\%\) pewnej liczby \(c\). Wyznacz liczbę \(c\).
Odpowiedź
a) \(a=2-\sqrt3\); b) \(b=3^{\frac12}\), czyli \(3^{0{,}5}\); c) \(c=2{,}5\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** \(1\).\(1\). Przedstawienie liczby a w postaci x + y \(3\) : a = \(2\) − \(3\) . \(1\)
**Krok \(2\).** \(1\). \(1\).\(2\). Zapisanie liczby b w postaci potęgi liczby \(3\): b = \(3\) \(0\),\(5\) . \(1\)
**Krok \(3\).** Wyznaczenie liczby c , której \(80\)% jest równe sumie liczb
**Krok \(4\).** \(1\).\(3\). \(1\)
**Krok \(5\).** a i b : c =\(2\),\(5\).
**Odpowiedź.** Rozwiązanie i punktacja: zobacz pełny klucz CKE poniżej.
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**1.1. (1 pkt)** – przedstawienie liczby \(a\) w postaci \(x+y\sqrt{3}\): \(a=2-\sqrt{3}\).
**1.2. (1 pkt)** – zapisanie liczby \(b\) w postaci potęgi liczby \(3\): \(b=3^{0{,}5}\).
**1.3. (1 pkt)** – wyznaczenie liczby \(c\), której \(80\%\) jest równe sumie liczb \(a\) i \(b\): \(c=2{,}5\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
