Liczby rzeczywiste
Zadanie 1, próbna styczeń 2005, poziom podstawowy
Wykonaj odpowiednie obliczenia i oceń, które z podanych zdań jest prawdziwe, a które fałszywe:
\[p: -3^2=9,\qquad q: \sqrt{81+64}=17,\qquad r: \sqrt[3]{27^4}=\left(\frac19\right)^{-2}.\]
Oceń wartość logiczną zdania
\[(p\land q)\Rightarrow r.\]
Odpowiedź uzasadnij.
Odpowiedź
Zdanie \(p\) jest fałszywe (\(-3^{2}=-9\)), zdanie \(q\) jest fałszywe (\(\sqrt{81+64}=\sqrt{145}\neq 17\)), zdanie \(r\) jest prawdziwe (\(\sqrt[3]{27^{4}}=3^{4}=81=\left(\frac19\right)^{-2}\)). Zdanie \((p\land q)\Rightarrow r\) jest prawdziwe, bo koniunkcja \(p\land q\) jest fałszywa, a implikacja o fałszywym poprzedniku jest prawdziwa.
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Zadanie ma dwie warstwy: rachunkową (ocenić prawdziwość trzech zdań \(p\), \(q\), \(r\)) i logiczną (na tej podstawie ocenić implikację). Zaczynamy od rachunków, a na końcu korzystamy z definicji koniunkcji i implikacji.
**Krok \(2\).** Zdanie \(p\): \(-3^2=9\). Trzeba pamiętać o kolejności działań: potęgowanie wykonujemy przed zmianą znaku, więc
\[-3^2=-\left(3^2\right)=-9.\]
Ponieważ \(-9\ne 9\), zdanie \(p\) jest fałszywe.
**Krok \(3\).** Zdanie \(q\): \(\sqrt{81+64}=17\). Najpierw dodajemy pod pierwiastkiem:
\[\sqrt{81+64}=\sqrt{145}.\]
Ponieważ \(12^2=144\) i \(13^2=169\), liczba \(\sqrt{145}\) leży między \(12\) a \(13\), czyli na pewno nie jest równa \(17\). Zdanie \(q\) jest fałszywe.
**Krok \(4\).** Zdanie \(r\): \(\sqrt[3]{27^4}=\left(\frac19\right)^{-2}\). Lewa strona:
\[\sqrt[3]{27^4}=\sqrt[3]{\left(3^3\right)^4}=\sqrt[3]{3^{12}}=3^{4}=81.\]
Prawa strona (ujemny wykładnik oznacza odwrotność):
\[\left(\frac19\right)^{-2}=9^{2}=81.\]
Obie strony są równe, więc zdanie \(r\) jest prawdziwe.
**Krok \(5\).** Koniunkcja \(p\land q\) jest prawdziwa tylko wtedy, gdy oba zdania są prawdziwe. Tutaj oba są fałszywe, więc \(p\land q\) jest fałszywa.
**Krok \(6\).** Implikacja jest fałszywa tylko w jednym przypadku: gdy poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy. U nas poprzednik \(p\land q\) jest fałszywy, więc implikacja \((p\land q)\Rightarrow r\) jest prawdziwa, niezależnie od wartości \(r\).
**Uwaga.** Dwie klasyczne pułapki rachunkowe. Pierwsza: \(-3^2\) to \(-9\), a \((-3)^2\) to \(9\), i to nawiasy o tym decydują. Druga: \(\sqrt{81+64}\ne\sqrt{81}+\sqrt{64}\), bo pierwiastek nie rozdziela się względem dodawania; gdyby tak było, wyszłoby \(9+8=17\) i błędnie uznalibyśmy \(q\) za prawdziwe.
**Odpowiedź.** Zdania \(p\) i \(q\) są fałszywe, zdanie \(r\) jest prawdziwe, a zdanie \((p\land q)\Rightarrow r\) jest prawdziwe, ponieważ jego poprzednik \(p\land q\) jest fałszywy.
Klucz i zasady oceniania
1 Odp. Np. Zdanie ( p ∧ q) ⇒ r jest prawdziwe, gdyż koniunkcja
p ∧ q jest fałszywa, a implikacja o fałszywym poprzedniku jest
prawdziwa
1 punkt przyznajemy za prawidłową odpowiedź, 1 punkt za 2
uzasadnienie na podstawie własności koniunkcji i implikacji
(punkty przyznajemy także, gdy zdający źle ocenił wartość logiczną
zdań p, q lub r i konsekwentnie ocenia wartość logiczną zdania
( p ∧ q ) ⇒ r )
[Dalsza część schematu, doklejona przez ekstrakcję, należy do kolejnego zadania z arkusza i została usunięta.]
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
