Potęgi i pierwiastki
Zadanie 1, próbna marzec 2021, poziom podstawowy
Liczba
\[(\sqrt6-\sqrt2)^2-2\sqrt3\]
jest równa
**A.** \(8-6\sqrt3\)
**B.** \(8-2\sqrt3\)
**C.** \(4-2\sqrt3\)
**D.** \(8-4\sqrt3\)
Odpowiedź
**A.** \(8-6\sqrt3\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** W wyrażeniu stoi kwadrat różnicy dwóch pierwiastków, więc pierwszym krokiem jest wzór skróconego mnożenia
\[(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.\]
Dopiero potem zajmiemy się odejmowaniem \(2\sqrt{3}\).
**Krok \(2\).** Podstawiamy \(a=\sqrt{6}\) i \(b=\sqrt{2}\):
\[\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)^{2}=\left(\sqrt{6}\right)^{2}-2\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}.\]
**Krok \(3\).** Liczymy kwadraty pierwiastków: \(\left(\sqrt{6}\right)^{2}=6\) oraz \(\left(\sqrt{2}\right)^{2}=2\).
**Krok \(4\).** Zajmujemy się środkowym składnikiem. Iloczyn pierwiastków to pierwiastek z iloczynu:
\[\sqrt{6}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3},\]
więc \(2\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{2}=4\sqrt{3}\).
**Krok \(5\).** Składamy wynik nawiasu:
\[\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)^{2}=6+2-4\sqrt{3}=8-4\sqrt{3}.\]
**Krok \(6\).** Odejmujemy \(2\sqrt{3}\). Wyrazy z \(\sqrt{3}\) traktujemy jak wyrazy podobne:
\[8-4\sqrt{3}-2\sqrt{3}=8-6\sqrt{3}.\]
**Uwaga.** Dwa miejsca, w których najczęściej gubi się punkt: pominięcie podwojonego iloczynu (wtedy wychodzi \(8\) zamiast \(8-4\sqrt{3}\)) oraz nieuproszczenie \(\sqrt{12}\) do \(2\sqrt{3}\), przez co nie da się dodać wyrazów podobnych na końcu.
**Odpowiedź.** A. \(8-6\sqrt{3}\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: A
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
1.1 i 2.1 przedstawianie liczb z użyciem pierwiastków oraz stosowanie wzorów skróconego mnożenia.
