Potęgi i pierwiastki
Zadanie 1, próbna grudzień 2022, poziom podstawowy
**Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.**
Liczba
\[\left(5\cdot5^{\frac12}\right)^{\frac13}\]
jest równa
**A.** \(\sqrt[6]{5}\)
**B.** \(\sqrt[3]{25}\)
**C.** \(\sqrt5\)
**D.** \(\sqrt[3]{5}\)
Odpowiedź
**C.** \(\sqrt5\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy: to działanie na potęgach o wykładnikach wymiernych, wszystko przy jednej podstawie \(5\). Plan: najpierw uprościć wyrażenie w nawiasie (iloczyn potęg o tej samej podstawie), potem zastosować wzór na potęgę potęgi, a na końcu zamienić wykładnik ułamkowy z powrotem na pierwiastek.
**Krok \(2\).** Zapisujemy pierwszy czynnik z jawnym wykładnikiem: \(5=5^{1}\). Mnożąc potęgi o tej samej podstawie, dodajemy wykładniki:
\[5\cdot5^{\frac12}=5^{1+\frac12}=5^{\frac32}.\]
**Krok \(3\).** Teraz potęgujemy nawias, stosując \(\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m\cdot n}\), czyli mnożąc wykładniki:
\[\left(5^{\frac32}\right)^{\frac13}=5^{\frac32\cdot\frac13}=5^{\frac36}=5^{\frac12}.\]
**Krok \(4\).** Wykładnik \(\tfrac12\) oznacza pierwiastek kwadratowy:
\[5^{\frac12}=\sqrt5.\]
**Uwaga.** Łatwo tu pomylić obie reguły: przy **mnożeniu** potęg wykładniki dodajemy (\(1+\tfrac12=\tfrac32\)), a przy **potęgowaniu potęgi** mnożymy (\(\tfrac32\cdot\tfrac13=\tfrac12\)). Zamiana tych działań miejscami prowadzi do odpowiedzi \(\sqrt[6]{5}\) lub \(\sqrt[3]{25}\).
**Odpowiedź.** C: \(\sqrt5\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
I. sprawność rachunkowa - wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych i stosowanie praw działań matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
I.1 i I.4 wykonywanie działań, w tym mnożenia i potęgowania, w zbiorze liczb rzeczywistych oraz stosowanie związku pierwiastkowania z potęgowaniem i praw działań na potęgach i pierwiastkach.
