Potęgi i pierwiastki
Zadanie 1, maj 2018, poziom rozszerzony
Dane są liczby
\[a=\frac{\sqrt[4]{8}}2,\qquad b=\frac1{2\sqrt[4]{8}},\qquad c=\sqrt[4]{8},\qquad d=\frac2{\sqrt[4]{8}}\]
oraz \(k=2^{-\frac14}\). Prawdziwa jest równość
**A.** \(k=a\)
**B.** \(k=b\)
**C.** \(k=c\)
**D.** \(k=d\)
Odpowiedź
**A.** \(k=a\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Liczba \(k=2^{-\frac14}\) jest zapisana jako potęga dwójki o wykładniku wymiernym, a liczby \(a,b,c,d\) — za pomocą pierwiastka czwartego stopnia. Żeby je porównać, musimy sprowadzić wszystko do jednej postaci: potęgi o podstawie \(2\).
**Krok \(2\).** Zamieniamy pierwiastek na potęgę. Korzystamy z tego, że \(8=2^3\) oraz \(\sqrt[n]{a}=a^{\frac1n}\):
\[\sqrt[4]{8}=\left(2^3\right)^{\frac14}=2^{\frac34}.\]
**Krok \(3\).** Przekształcamy liczbę \(a\), pamiętając, że \(2=2^1\), a przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie wykładniki odejmujemy:
\[a=\frac{\sqrt[4]{8}}{2}=\frac{2^{\frac34}}{2^1}=2^{\frac34-1}=2^{-\frac14}.\]
To jest dokładnie liczba \(k\).
**Krok \(4\).** Dla pewności sprawdzamy pozostałe liczby:
\[b=\frac{1}{2\sqrt[4]{8}}=\frac{1}{2^1\cdot2^{\frac34}}=\frac{1}{2^{\frac74}}=2^{-\frac74},\]
\[c=\sqrt[4]{8}=2^{\frac34},\qquad d=\frac{2}{\sqrt[4]{8}}=\frac{2^1}{2^{\frac34}}=2^{\frac14}.\]
**Krok \(5\).** Spośród wykładników \(-\frac14\), \(-\frac74\), \(\frac34\), \(\frac14\) tylko pierwszy jest równy \(-\frac14\), więc równość \(k=a\) jest jedyną prawdziwą.
**Uwaga.** Wykładniki \(\frac14\) i \(-\frac14\) różnią się tylko znakiem, ale odpowiadające im liczby są odwrotnościami — dlatego \(d\ne k\). Znak wykładnika trzeba tu śledzić szczególnie uważnie.
**Odpowiedź.** A: \(k=a\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi A
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
1.4 zdający oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych i stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych.
