Zadanie 1 – matura z matematyki maj 2017, poziom rozszerzony

**A.** \(2\)

**Krok \(1\).** Mamy kwadrat różnicy dwóch pierwiastków. Nie liczymy przybliżeń — stosujemy wzór \((a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\). Opłaca się to dlatego, że kwadraty usuwają zewnętrzne pierwiastki, a iloczyn \(ab\) schodzi pod jeden pierwiastek, w którym pojawi się różnica kwadratów. **Krok \(2\).** Oznaczamy \(a=\sqrt{2-\sqrt3}\) oraz \(b=\sqrt{2+\sqrt3}\). Ponieważ \(\sqrt3\approx1{,}73 \lt 2\), obie liczby pod pierwiastkami są dodatnie, więc \(a\) i \(b\) istnieją. **Krok \(3\).** Kwadraty: \(a^{2}=2-\sqrt3\), \(b^{2}=2+\sqrt3\), zatem \[a^{2}+b^{2}=(2-\sqrt3)+(2+\sqrt3)=4.\] **Krok \(4\).** Iloczyn: korzystamy z \(\sqrt{m}\cdot\sqrt{n}=\sqrt{mn}\) oraz ze wzoru na różnicę kwadratów pod pierwiastkiem: \[ab=\sqrt{(2-\sqrt3)(2+\sqrt3)}=\sqrt{2^{2}-(\sqrt3)^{2}}=\sqrt{4-3}=\sqrt1=1.\] **Krok \(5\).** Składamy wszystko razem: \[\left(\sqrt{2-\sqrt3}-\sqrt{2+\sqrt3}\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}=4-2\cdot1=2.\] **Uwaga.** Wynik musi wyjść dodatni, mimo że sama różnica \(a-b\) jest ujemna (\(2-\sqrt3 \lt 2+\sqrt3\)) — podnoszenie do kwadratu likwiduje znak. Nie wolno też skracać pierwiastka z sumy: \(\sqrt{2-\sqrt3}\) nie jest równe \(\sqrt2-\sqrt[4]{3}\). **Odpowiedź.** A: \(2\)

**1 pkt** – odpowiedź A **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** wyrażenia algebraiczne - wzory skróconego mnożenia i działania na pierwiastkach.