Zadanie 5 – matura z matematyki maj 2017, poziom podstawowy

**C.** Równość jest prawdziwa dla \(x=-1\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy strukturę: po obu stronach stoją kwadraty. Kwadraty dwóch liczb są równe dokładnie wtedy, gdy same liczby są równe albo przeciwne: \[a^{2}=b^{2}\iff a=b\ \text{ lub }\ a=-b.\] Dzięki temu nie musimy niczego wymnażać — wystarczy rozpatrzyć dwa proste przypadki. **Krok \(2\).** Tutaj \(a=x\sqrt2-2\) oraz \(b=2+\sqrt2\). Pierwszy przypadek: \[x\sqrt2-2=2+\sqrt2\ \Longrightarrow\ x\sqrt2=4+\sqrt2\ \Longrightarrow\ x=\frac{4+\sqrt2}{\sqrt2}=\frac{4}{\sqrt2}+1=2\sqrt2+1.\] Takiej liczby nie ma wśród odpowiedzi. **Krok \(3\).** Drugi przypadek — liczby przeciwne: \[x\sqrt2-2=-(2+\sqrt2)=-2-\sqrt2.\] Dodajemy \(2\) do obu stron: \[x\sqrt2=-\sqrt2.\] **Krok \(4\).** Dzielimy obie strony przez \(\sqrt2\) (to liczba różna od zera): \[x=-1.\] **Krok \(5\).** Sprawdzamy bezpośrednio. Dla \(x=-1\) lewa strona to \[\left(-\sqrt2-2\right)^{2}=\left(-(\sqrt2+2)\right)^{2}=\left(2+\sqrt2\right)^{2},\] czyli dokładnie prawa strona. Równość jest prawdziwa. **Krok \(6\).** Odrzucamy pozostałe możliwości. Prawa strona ma stałą wartość \(\left(2+\sqrt2\right)^{2}=4+4\sqrt2+2=6+4\sqrt2\approx11{,}66\). Dla \(x=\sqrt2\) lewa strona to \(\left(\sqrt2\cdot\sqrt2-2\right)^{2}=(2-2)^{2}=0\), a dla \(x=-\sqrt2\) jest to \((-2-2)^{2}=16\) — w obu wypadkach inaczej niż \(6+4\sqrt2\). Skoro znaleźliśmy \(x\), przy którym równość zachodzi, odpada też odpowiedź D. **Uwaga.** Z równości kwadratów **nie** wynika równość podstaw: z \(a^{2}=b^{2}\) dostajemy \(a=b\) **lub** \(a=-b\). Pominięcie drugiego przypadku gubi tu jedyne rozwiązanie z listy odpowiedzi. **Odpowiedź.** C: równość jest prawdziwa dla \(x=-1\)

Zadanie 5. (0−1) Wersja Wersja II. Wykorzystanie 3. Równania i nierówności. Zdający I II i interpretowanie rozwiązuje równania kwadratowe z jedną reprezentacji. niewiadomą (3.4). C D