Liczby rzeczywiste
Zadanie 6, czerwiec 2017, poziom podstawowy
Wartość wyrażenia ( b − a )\(2\) dla \(a = 2 3\) i \(b = 75\) jest równa
A. \(9\) B. \(27\) C. \(63\) D. \(147\)
Odpowiedź
B
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Mamy obliczyć wartość wyrażenia \((b-a)^2\) dla \(a=2\sqrt3\) oraz \(b=\sqrt{75}\). Zanim cokolwiek podniesiemy do kwadratu, warto uprościć pierwiastek w \(b\) — jeśli obie liczby będą wielokrotnościami tego samego pierwiastka, odejmowanie stanie się bardzo proste.
**Krok \(2\).** Wyłączamy czynnik przed znak pierwiastka. Szukamy w liczbie \(75\) największego kwadratu: \(75=25\cdot3\), więc
\[\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot3}=\sqrt{25}\cdot\sqrt3=5\sqrt3.\]
**Krok \(3\).** Teraz obie liczby są wielokrotnościami \(\sqrt3\), więc odejmujemy je tak jak wyrazy podobne:
\[b-a=5\sqrt3-2\sqrt3=(5-2)\sqrt3=3\sqrt3.\]
**Krok \(4\).** Podnosimy wynik do kwadratu, pamiętając, że kwadrat iloczynu to iloczyn kwadratów:
\[(3\sqrt3)^2=3^2\cdot(\sqrt3)^2=9\cdot3=27.\]
**Krok \(5\).** Kontrola drugim sposobem, ze wzoru skróconego mnożenia:
\[(b-a)^2=b^2-2ab+a^2=75-2\cdot5\sqrt3\cdot2\sqrt3+12=75-60+12=27.\]
Wynik jest ten sam.
**Uwaga.** Nie wolno zamieniać \((b-a)^2\) na \(b^2-a^2\). Tu dałoby to \(75-12=63\), czyli błędną odpowiedź C — a właśnie na tę pomyłkę zadanie zastawia pułapkę.
**Odpowiedź.** B: \(27\)
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 6.
Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2017 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.
