Potęgi i pierwiastki
Zadanie 1, czerwiec 2015, poziom podstawowy
Liczba
\[2\sqrt{18}-\sqrt{32}\]
jest równa:
**A.** \(2^{-3/2}\)
**B.** \(2^{-1/2}\)
**C.** \(2^{1/2}\)
**D.** \(2^{3/2}\)
Odpowiedź
**D.** \(2^{3/2}\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Pierwiastków \(\sqrt{18}\) i \(\sqrt{32}\) nie da się odjąć wprost, bo pod pierwiastkami stoją różne liczby. Standardowy ruch to wyłączenie czynnika przed znak pierwiastka, tak aby w obu składnikach został ten sam \(\sqrt2\).
**Krok \(2\).** Rozkładamy \(18\) na czynnik będący kwadratem i resztę:
\[\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt9\cdot\sqrt2=3\sqrt2,\]
zatem
\[2\sqrt{18}=2\cdot 3\sqrt2=6\sqrt2.\]
**Krok \(3\).** Tak samo dla \(32\):
\[\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=\sqrt{16}\cdot\sqrt2=4\sqrt2.\]
**Krok \(4\).** Teraz oba wyrazy mają wspólny czynnik \(\sqrt2\), więc odejmujemy je jak wyrazy podobne:
\[6\sqrt2-4\sqrt2=2\sqrt2.\]
**Krok \(5\).** W odpowiedziach występują potęgi dwójki, więc zamieniamy \(2\sqrt2\) na potęgę. Korzystamy z \(\sqrt2=2^{1/2}\):
\[2\sqrt2=2^{1}\cdot 2^{1/2}=2^{1+\frac12}=2^{3/2}.\]
**Uwaga.** Nie wolno pisać \(\sqrt{18}-\sqrt{32}=\sqrt{18-32}\) - pierwiastek nie jest addytywny. Legalne są tylko działania na iloczynie i ilorazie pod pierwiastkiem.
**Odpowiedź.** D: \(2^{3/2}\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź **D**
**0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE nie publikuje osobnej tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** liczby rzeczywiste, upraszczanie pierwiastków i potęgi o wykładniku wymiernym.
