Potęgi i pierwiastki
Zadanie 1, czerwiec 2011, poziom podstawowy
Liczbę \(\sqrt{20}\) można przedstawić w postaci
**A.** \(5\sqrt2\)
**B.** \(5\sqrt4\)
**C.** \(4\sqrt5\)
**D.** \(2\sqrt5\)
Odpowiedź
**D.** \(2\sqrt5\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Wszystkie odpowiedzi mają postać liczba razy pierwiastek, więc zadanie sprowadza się do wyłączenia czynnika przed znak pierwiastka. Metoda: rozkładamy liczbę podpierwiastkową na iloczyn, w którym jeden czynnik jest kwadratem liczby naturalnej.
**Krok \(2\).** Szukamy największego kwadratu, który dzieli \(20\). Kwadraty to \(1,4,9,16,\ldots\); liczbę \(20\) dzieli \(4\), bo \(20=4\cdot5\).
**Krok \(3\).** Korzystamy ze wzoru \(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) dla liczb nieujemnych:
\[\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{5}=2\sqrt{5}.\]
**Krok \(4\).** Sprawdzamy przybliżeniem: \(\sqrt{20}\approx4{,}47\), a \(2\sqrt{5}\approx2\cdot2{,}236=4{,}47\). Pozostałe warianty dają \(5\sqrt{2}\approx7{,}07\), \(5\sqrt{4}=10\) oraz \(4\sqrt{5}\approx8{,}94\), więc żaden nie pasuje.
**Uwaga.** Przed pierwiastek wychodzi pierwiastek z kwadratu, a nie sam kwadrat: z rozkładu \(20=4\cdot5\) otrzymujemy \(2\sqrt5\), a nie \(4\sqrt5\).
**Odpowiedź.** D, czyli \(2\sqrt5\).
Klucz i zasady oceniania
1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi zgodnej z kluczem CKE.
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Liczby rzeczywiste – upraszcza pierwiastki kwadratowe.
