Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 45, zbiór zadań z informatora 2025, poziom podstawowy
Dany jest trójkąt \(ABC\). Na boku \(AB\) tego trójkąta wybrano punkt \(D\) taki, że
\[\lvert AD\rvert=\frac14\lvert AB\rvert,\]
a na boku \(BC\) wybrano punkt \(E\) taki, że
\[\lvert BE\rvert=\frac15\lvert BC\rvert.\]
Pole trójkąta \(ABC\) jest równe \(20\).
Oblicz pole trójkąta \(DBE\).
Odpowiedź
\[P_{DBE}=3.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Z warunku \(\lvert AD\rvert=\frac14\lvert AB\rvert\) wynika
\[\frac{\lvert DB\rvert}{\lvert AB\rvert}=\frac34.\]
Trójkąty \(DBE\) i \(ABE\) mają tę samą wysokość opuszczoną z punktu \(E\), więc
\[\frac{P_{DBE}}{P_{ABE}}=\frac{\lvert DB\rvert}{\lvert AB\rvert}=\frac34.\]
Trójkąty \(ABE\) i \(ABC\) mają tę samą wysokość opuszczoną z punktu \(A\), zatem
\[\frac{P_{ABE}}{P_{ABC}}=\frac{\lvert BE\rvert}{\lvert BC\rvert}=\frac15.\]
Wobec tego
\[P_{DBE}=\frac34\cdot\frac15\cdot20=3.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – poprawna metoda i wynik \(P_{DBE}=3\)
**2 pkt** – wykazanie \(\frac{P_{DBE}}{P_{ABE}}=\frac34\) oraz \(\frac{P_{ABE}}{P_{ABC}}=\frac15\)
**1 pkt** – poprawne wykazanie jednego z tych stosunków pól
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych oraz tworzenie modeli.
**Wymagania szczegółowe:**
VII.3) Zdający stosuje wzór na pole trójkąta \(P=\frac12ab\sin\gamma\).
VIII.8) Korzysta z cech podobieństwa trójkątów.
