Ciągi
Zadanie 46, zbiór zadań z informatora 2025, poziom podstawowy
Rozważmy trójkąt prostokątny \(ABC\) o kącie prostym przy wierzchołku \(A\). Niech każdy z boków tego trójkąta: \(CA\), \(AB\), \(BC\) będzie podstawą trójkątów podobnych, odpowiednio \(CAW_1\), \(ABW_2\), \(BCW_3\). Trójkąty te mają odpowiadające sobie kąty o równych miarach, odpowiednio przy wierzchołkach \(W_1\), \(W_2\), \(W_3\).
Pola trójkątów \(CAW_1\), \(ABW_2\), \(BCW_3\) oznaczymy odpowiednio jako \(P_1\), \(P_2\), \(P_3\).
Udowodnij, że
\[P_3=P_1+P_2.\]
Odpowiedź
\[P_3=P_1+P_2.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Dla figur podobnych stosunek pól jest kwadratem skali podobieństwa. Ponieważ odpowiadającymi sobie podstawami trójkątów są boki \(CA\), \(AB\) i \(BC\), otrzymujemy
\[\frac{P_2}{P_1}=\left(\frac{\lvert AB\rvert}{\lvert CA\rvert}\right)^2,\qquad\frac{P_3}{P_1}=\left(\frac{\lvert BC\rvert}{\lvert CA\rvert}\right)^2.\]
Stąd
\[P_1+P_2=P_1+\frac{\lvert AB\rvert^2}{\lvert CA\rvert^2}P_1=P_1\frac{\lvert CA\rvert^2+\lvert AB\rvert^2}{\lvert CA\rvert^2}.\]
Trójkąt \(ABC\) jest prostokątny przy \(A\), więc z twierdzenia Pitagorasa
\[\lvert CA\rvert^2+\lvert AB\rvert^2=\lvert BC\rvert^2.\]
Zatem
\[P_1+P_2=P_1\frac{\lvert BC\rvert^2}{\lvert CA\rvert^2}=P_3,\]
co kończy dowód.
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – pełny poprawny dowód równości \(P_3=P_1+P_2\)
**2 pkt** – zapisanie zależności między polami figur podobnych, sumy \(P_1+P_2\) oraz twierdzenia Pitagorasa
**1 pkt** – zapisanie zależności \(\frac{P_2}{P_1}=(\frac{|AB|}{|CA|})^2\) i \(\frac{P_3}{P_1}=(\frac{|BC|}{|CA|})^2\) albo równoważnego etapu
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie wieloetapowych rozumowań, dostrzeganie podobieństw i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
VIII.9) Zdający wykorzystuje zależności między polami figur podobnych.
VIII.11) Przeprowadza dowody geometryczne.
