Ciągi
Zadanie 35, zbiór zadań z informatora 2023, poziom podstawowy
Na podstawie twierdzenia Pitagorasa można udowodnić bardziej ogólną własność niż ta, o której mówi samo to twierdzenie.
Rozważmy trójkąt prostokątny \(ABC\) o kącie prostym przy wierzchołku \(A\). Niech każdy z boków tego trójkąta: \(CA\), \(AB\), \(BC\) będzie podstawą trójkątów podobnych, odpowiednio: \(CAW_1\), \(ABW_2\), \(CBW_3\). Trójkąty te mają odpowiadające sobie kąty o równych miarach, odpowiednio przy wierzchołkach: \(W_1\), \(W_2\), \(W_3\).
Pola trójkątów \(CAW_1\), \(ABW_2\), \(CBW_3\) oznaczymy odpowiednio jako \(P_1\), \(P_2\), \(P_3\).
**Udowodnij, że:**
\[P_3=P_1+P_2.\]
Odpowiedź
Udowodniono równość \(P_3=P_1+P_2\).
Rozwiązanie krok po kroku
Ponieważ trójkąty \(CAW_1\), \(ABW_2\), \(CBW_3\) są podobne, stosunki ich pól są kwadratami stosunków odpowiadających sobie boków:
\[\frac{P_2}{P_1}=\left(\frac{|AB|}{|CA|}\right)^2,\qquad \frac{P_3}{P_1}=\left(\frac{|BC|}{|CA|}\right)^2.\]
Stąd
\[P_1+P_2=P_1\left(1+\frac{|AB|^2}{|CA|^2}\right)=P_1\frac{|CA|^2+|AB|^2}{|CA|^2}.\]
Trójkąt \(ABC\) jest prostokątny przy \(A\), więc z twierdzenia Pitagorasa \(|CA|^2+|AB|^2=|BC|^2\). Zatem
\[P_1+P_2=P_1\frac{|BC|^2}{|CA|^2}=P_3.\]
To kończy dowód.
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – prawidłowe przeprowadzenie pełnego dowodu równości \(P_3=P_1+P_2\)
**2 pkt** – zapisanie zależności między polami figur podobnych i długościami odpowiednich boków oraz zastosowanie twierdzenia Pitagorasa
**1 pkt** – zapisanie zależności \(\frac{P_2}{P_1}=(\frac{|AB|}{|CA|})^2\) i \(\frac{P_3}{P_1}=(\frac{|BC|}{|CA|})^2\) lub zależności równoważnych
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV.1, IV.2 i IV.4 przeprowadzanie rozumowań, dostrzeganie analogii oraz tworzenie strategii rozwiązania.
**Wymagania szczegółowe:**
VIII.12 :** zależności między polami figur podobnych oraz przeprowadzanie dowodów geometrycznych.
