Trójkąty
Zadanie 22, czerwiec 2020, poziom podstawowy
Pole prostokąta ABCD jest równe \(90\). Na bokach AB i CD wybrano odpowiednio punkty P i R, takie że \(\frac{AP}{PB} = \frac{CR}{RD} = \frac{3}{2}\). Pole czworokąta APCR jest równe
A. \(36\)
B. \(40\)
C. \(54\)
D. \(60\)
Odpowiedź
C. \(54\)
Rozwiązanie krok po kroku
Z rysunku odczytujemy, że \(P\) leży na boku \(AB\), a \(R\) na boku \(DC\), przy czym \(AP\parallel RC\).
Z danych proporcji
\[\lvert AP\rvert=\tfrac35\lvert AB\rvert,\qquad \lvert CR\rvert=\tfrac35\lvert CD\rvert=\tfrac35\lvert AB\rvert.\]
Odcinki \(AP\) i \(RC\) są więc równoległe i równej długości, zatem czworokąt \(APCR\) jest równoległobokiem.
Jego wysokość opuszczona na bok \(AP\) jest równa wysokości prostokąta, czyli \(\lvert BC\rvert\). Stąd
\[P_{APCR}=\lvert AP\rvert\cdot\lvert BC\rvert=\tfrac35\lvert AB\rvert\cdot\lvert BC\rvert=\tfrac35\cdot90=54.\]
**Odpowiedź.** C. \(54\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **C**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 22. (0–1)
**Wymaganie ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymaganie szczegółowe:** G10. Figury płaskie — obliczanie pól i obwodów trójkątów i czworokątów (G10.9).
