Ciągi
Zadanie 15, arkusz pokazowy 2015, poziom rozszerzony
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość \(a\). Kąt między krawędzią boczną a krawędzią podstawy ma miarę \(\alpha>45^\circ\) (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Odpowiedź
\[V=\frac{a^3}{6}\sqrt{\tan^2\alpha-1}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(H\) oznacza wysokość ostrosłupa. W ścianie bocznej wysokość opuszczona na krawędź podstawy ma długość
\[h=\frac a2\tan\alpha.\]
Jej rzutem na płaszczyznę podstawy jest odcinek od środka kwadratu do środka boku, długości \(\frac a2\). Z twierdzenia Pitagorasa
\[H=\sqrt{h^2-\left(\frac a2\right)^2}=\frac a2\sqrt{\tan^2\alpha-1}.\]
Warunek \(\alpha>45^\circ\) gwarantuje dodatniość wyrażenia pod pierwiastkiem. Zatem
\[V=\frac13a^2H=\frac{a^3}{6}\sqrt{\tan^2\alpha-1}.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – poprawny wzór na objętość
**2 pkt** – wyznaczenie wysokości \(H=\frac a2\sqrt{\tan^2\alpha-1}\)
**1 pkt** – wyznaczenie wysokości ściany bocznej \(h=\frac a2\tan\alpha\) i poprawny model geometryczny
**0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
CKE IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
9.6 trygonometria w obliczeniach długości i objętości brył.
