Liczby rzeczywiste
Zadanie 5, zbiór zadań z informatora 2025, poziom podstawowy
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\) liczba
\[n(n^2+3n+2)\]
jest podzielna przez \(6\).
Odpowiedź
Liczba \(n(n^2+3n+2)\) jest podzielna przez \(6\) dla każdego \(n\geq1\).
Rozwiązanie krok po kroku
Rozkładamy trójmian na czynniki:
\[n(n^2+3n+2)=n(n+1)(n+2).\]
Jest to iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych. Wśród nich co najmniej jedna jest parzysta, a dokładnie jedna jest podzielna przez \(3\). Iloczyn jest więc podzielny przez \(2\) i przez \(3\). Ponieważ liczby \(2\) i \(3\) są względnie pierwsze, iloczyn jest podzielny przez \(6\).
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – otrzymanie \(n(n+1)(n+2)\) i uzasadnienie, że wśród trzech kolejnych liczb jedna jest podzielna przez \(2\), a jedna przez \(3\)
**1 pkt** – przekształcenie do postaci \(n(n+1)(n+2)\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań i uzasadnianie wniosków.
**Wymagania szczegółowe:**
I.2) Zdający przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia.
