Liczby rzeczywiste
Zadanie 26, próbna wrzesień 2022, poziom podstawowy
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) liczba
\[10n^2+30n+8\]
przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(3\).
Odpowiedź
Dla każdego \(n\in\mathbb N\) reszta z dzielenia przez \(5\) jest równa \(3\).
Rozwiązanie krok po kroku
Przekształcamy wyrażenie:
\[10n^2+30n+8=10n^2+30n+5+3\]
\[=5(2n^2+6n+1)+3.\]
Dla każdej liczby naturalnej \(n\) liczba \(2n^2+6n+1\) jest całkowita, więc \(5(2n^2+6n+1)\) jest wielokrotnością \(5\). Zatem wyrażenie \(10n^2+30n+8\) przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(3\).
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – przekształcenie do postaci \(5(2n^2+6n+1)+3\) i zapisanie, że \(2n^2+6n+1\) jest liczbą całkowitą
**1 pkt** – przekształcenie do postaci \(5(2n^2+6n+1)+3\)
**0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań i podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania.
**Wymagania szczegółowe:**
I.2 przeprowadzanie prostych dowodów dotyczących podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia.
