Liczby rzeczywiste
Zadanie 25, próbna wrzesień 2022, poziom podstawowy
Każda z krawędzi podstawy trójkątnej ostrosłupa ma długość \(10\sqrt3\), a każda jego krawędź boczna ma długość \(15\).
**Oblicz wysokość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[H=5\sqrt5.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o boku \(10\sqrt3\). Ponieważ wszystkie krawędzie boczne mają tę samą długość, spodek wysokości jest środkiem okręgu opisanego na podstawie. Jego promień wynosi
\[R=\frac{10\sqrt3\cdot\sqrt3}{3}=10.\]
W trójkącie prostokątnym utworzonym przez wysokość \(H\), promień \(R\) i krawędź boczną długości \(15\):
\[R^2+H^2=15^2,\]
\[10^2+H^2=225,\]
\[H^2=125,\qquad H=5\sqrt5.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – obliczenie promienia okręgu opisanego na podstawie, poprawne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa i wynik \(H=5\sqrt5\)
**2 pkt** – obliczenie promienia okręgu opisanego na podstawie oraz poprawne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa
**1 pkt** – obliczenie promienia \(R=10\) okręgu opisanego na trójkącie równobocznym
**0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii podczas rozwiązywania zadań.
**Wymagania szczegółowe:**
VII.4 i VIII.2 rozwiązywanie trójkątów przy użyciu odpowiednich twierdzeń oraz stosowanie zależności między długościami boków i miarami kątów.
