Zadanie 3 – matura z matematyki maj 2024, poziom podstawowy

Teza została wykazana: reszta z dzielenia przez \(3\) jest równa \(2\).

Rozwijamy kwadraty i porządkujemy wyrażenie: \[n^{2}+(n+1)^{2}+(n+2)^{2}=n^{2}+n^{2}+2n+1+n^{2}+4n+4=3n^{2}+6n+5.\] Zapisujemy je w postaci, z której widać resztę z dzielenia przez \(3\): \[3n^{2}+6n+5=3\left(n^{2}+2n+1\right)+2=3(n+1)^{2}+2.\] Liczba \((n+1)^{2}\) jest całkowita, więc \(3(n+1)^{2}\) jest podzielne przez \(3\). Ponieważ \(0\le2<3\), reszta z dzielenia całej sumy przez \(3\) wynosi dokładnie \(2\). **Odpowiedź.** Dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\) reszta z dzielenia liczby \(n^{2}+(n+1)^{2}+(n+2)^{2}\) przez \(3\) jest równa \(2\), co należało wykazać.

**2 pkt** – przekształcenie wyrażenia \(n^{2}+(n+1)^{2}+(n+2)^{2}\) do postaci \(3(n^{2}+2n+1)+2\) ALBO – przekształcenie wyrażenia \(n^{2}+(n+1)^{2}+(n+2)^{2}\) do postaci \(3n^{2}+6n+5\) oraz zapisanie, że składniki \(3n^{2}\) oraz \(6n\) są podzielne przez \(3\), a reszta z dzielenia liczby \(5\) przez \(3\) jest równa \(2\), ALBO – zapisanie, że \(n\), \(n+1\), \(n+2\), to trzy kolejne liczby całkowite, więc dokładnie jedna z nich jest podzielna przez \(3\), a dwie pozostałe nie są podzielne przez \(3\) oraz zapisanie, że kwadrat liczby podzielnej przez \(3\) jest podzielny przez \(3\), a kwadrat liczby niepodzielnej przez \(3\) przy dzieleniu przez \(3\) daje resztę \(1\), oraz zapisanie wniosku, że reszta z dzielenia przez \(3\) liczby \(n^{2}+(n+1)^{2}+(n+2)^{2}\) jest równa \(2\). **1 pkt** – przekształcenie wyrażenia \(n^{2}+(n+1)^{2}+(n+2)^{2}\) do postaci \([\ldots]\) ALBO – zapisanie, że \(n\), \(n+1\), \(n+2\), to trzy kolejne liczby naturalne, więc dokładnie jedna z nich jest podzielna przez \(3\), a dwie pozostałe nie są podzielne przez \(3\) oraz zapisanie, że kwadrat liczby podzielnej przez \(3\) jest podzielny przez \(3\), a kwadrat liczby niepodzielnej przez \(3\) przy dzieleniu przez \(3\) daje resztę \(1\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Uwagi:** 1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości \(n\), to otrzymuje \(0\) punktów za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający przyjmuje np. \(n=3k+r\), gdzie \(k\in N\) i \(r\) jest resztą z dzielenia liczby \(n\) przez \(3\) (lub \(n=2k+r\), gdzie \(k\in N\) i \(r\) jest resztą z dzielenia liczby \(n\) przez \(2\)), i przeprowadzi pełne rozumowanie dla wszystkich przypadków, to otrzymuje \(2\) punkty. Gdy przeprowadzi pełne rozumowanie dla co najmniej połowy przypadków, ale nie przeprowadzi pełnego rozumowania dla wszystkich przypadków, to otrzymuje \(1\) punkt za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający rozpatruje tylko jeden przypadek \(n=3k+2\), to otrzymuje \(0\) punktów za całe rozwiązanie.

**Wymaganie ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja 1 . Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu. **Wymaganie szczegółowe:** 1.2) przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia nie trudniejsze niż dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych.