Ostrosłupy
Zadanie 26, próbna marzec 2026, poziom podstawowy
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość \(12\). Ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze \(30^{\circ}\).
**Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[V=96\sqrt3.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(H\) oznacza wysokość ostrosłupa, a \(E\) środek krawędzi podstawy. Odległość środka kwadratowej podstawy od \(E\) wynosi \(6\). W odpowiednim trójkącie prostokątnym:
\[\operatorname{tg}30^\circ=\frac{H}{6}.\]
Zatem
\[H=6\operatorname{tg}30^\circ=6\cdot\frac{\sqrt3}{3}=2\sqrt3.\]
Objętość:
\[V=\frac13\cdot12^2\cdot2\sqrt3=96\sqrt3.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawna metoda i wynik \(V=96\sqrt3\)
**1 pkt** – obliczenie lub zapisanie wysokości \(H=2\sqrt3\)
**0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
X.3) Zdający rozpoznaje w ostrosłupach kąty między ścianami.
X.5) Zdający oblicza objętości ostrosłupów, również z wykorzystaniem trygonometrii.
