Ostrosłupy
Zadanie 60, zbiór zadań z informatora 2025, poziom podstawowy
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30^{\circ}\), a krawędź podstawy ma długość \(6\sqrt3\).
Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
Odpowiedź
\[V=108,\qquad P_c=108+72\sqrt3.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(O\) będzie środkiem podstawy, a \(E\) środkiem jej boku. Wtedy \(OE=3\sqrt3\). W przekroju prostopadłym do krawędzi podstawy
\[\tan30^{\circ}=\frac H{OE},\]
więc \(H=3\). Pole podstawy wynosi \(P_p=(6\sqrt3)^2=108\), zatem
\[V=\frac13P_pH=108.\]
Wysokość ściany bocznej spełnia
\[\cos30^{\circ}=\frac{OE}{h_b},\]
więc \(h_b=6\). Pole czterech ścian bocznych to
\[4\cdot\frac12\cdot6\sqrt3\cdot6=72\sqrt3.\]
Ostatecznie \(P_c=108+72\sqrt3\).
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawne wyniki \(V=108\), \(P_c=108+72\sqrt3\)
**3 pkt** – jeden wynik końcowy oraz odpowiednia druga wysokość
**2 pkt** – obliczenie obu wysokości albo jednego wyniku końcowego
**1 pkt** – obliczenie \(H=3\) albo \(h_b=6\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
X.5) Zdający oblicza objętości i pola powierzchni ostrosłupów z wykorzystaniem trygonometrii.
