Funkcje
Zadanie 59.2, zbiór zadań z informatora 2025, poziom podstawowy
Czapeczka ma kształt powierzchni bocznej stożka o średnicy podstawy \(d=20\,\mathrm{cm}\), wysokości \(H=25\,\mathrm{cm}\) i tworzącej \(l\). Powstała z wycinka koła \(ABS\) o promieniu \(l\), po sklejeniu odcinków \(SA\) i \(SB\).
Oblicz miarę kąta \(BSA\) wycinka koła, z którego powstała powierzchnia boczna stożka. Wynik podaj w zaokrągleniu do jednego stopnia.
Odpowiedź
\[\lvert\angle BSA\rvert\approx134^{\circ}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Mamy \(r=10\) oraz
\[l=\sqrt{H^2+r^2}=\sqrt{25^2+10^2}=5\sqrt{29}.\]
Długość łuku wycinka jest równa obwodowi podstawy stożka. Jeśli \(\alpha=\lvert\angle BSA\rvert\), to
\[\frac{\alpha}{360^{\circ}}\cdot2\pi l=2\pi r.\]
Zatem
\[\alpha=\frac rl\cdot360^{\circ}=\frac{10}{5\sqrt{29}}\cdot360^{\circ}\approx133{,}7^{\circ}\approx134^{\circ}.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – poprawna metoda i wynik około \(134^{\circ}\)
**2 pkt** – wyprowadzenie \(\alpha=\frac rl\cdot360^{\circ}\) oraz zapisanie \(l^2=r^2+H^2\)
**1 pkt** – zapisanie równania \(\frac{\alpha}{360^{\circ}}2\pi l=2\pi r\) albo równoważnego równania pól
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
VIII.6) Zdający stosuje wzory na pole wycinka i długość łuku.
X.5) Oblicza pola powierzchni stożków.
