Równania i nierówności
Zadanie 15, zbiór zadań z informatora 2015, poziom rozszerzony
Rozważamy wszystkie prostokąty, których dwa wierzchołki leżą na odcinku \(AB\), gdzie \(A=(-1,4)\) i \(B=(1,4)\), a pozostałe dwa na paraboli o równaniu \(y=2x^2+2\) (zobacz rysunek). Wyznacz wymiary tego z prostokątów, który ma największe pole. Oblicz to pole.
Odpowiedź
Wymiary: \(\frac{2\sqrt3}{3}\) i \(\frac43\). Największe pole: \(\frac{8\sqrt3}{9}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(x\in(0,1)\) będzie odległością prawego dolnego wierzchołka od osi \(Oy\). Szerokość prostokąta wynosi \(2x\), a wysokość \(4-(2x^2+2)=2-2x^2\). Stąd
\[P(x)=2x(2-2x^2)=-4x^3+4x.\]
Mamy \(P'(x)=-12x^2+4\), więc w dziedzinie jedynym punktem krytycznym jest \(x=\frac{\sqrt3}{3}\). Pochodna zmienia tam znak z dodatniego na ujemny. Wymiary wynoszą
\[2x=\frac{2\sqrt3}{3},\qquad 2-2x^2=\frac43,\]
a pole
\[P_{\max}=\frac{2\sqrt3}{3}\cdot\frac43=\frac{8\sqrt3}{9}.\]
Klucz i zasady oceniania
**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 7 pkt** – poprawne wymiary i największe pole z pełną analizą
**5: 6 pkt** – poprawny model i punkt maksimum z drobnym błędem końcowym
**3: 4 pkt** – poprawna funkcja pola i jej pochodna
**1: 2 pkt** – poprawne wyrażenie boków prostokąta
**0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Modelowanie matematyczne. Zdający buduje model matematyczny danej sytuacji, uwzględniając ograniczenia i zastrzeżenia.
**Wymagania szczegółowe:**
11.6. R. Zdający stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.
