Ostrosłupy
Zadanie 102, zbiór zadań z informatora 2010, poziom mieszany
Podstawą ostrosłupa \(ABCDE\) jest kwadrat \(ABCD\). Punkt \(F\) jest środkiem krawędzi \(AD\), odcinek \(EF\) jest wysokością ostrosłupa (patrz rysunek). Oblicz objętość ostrosłupa, jeśli wiadomo, że \(|AE|=15\), \(|BE|=17\).
Odpowiedź
\[V=\frac{64\sqrt{209}}{3}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy bok kwadratu przez \(a\), a wysokość \(|EF|\) przez \(h\). Punkt \(F\) jest środkiem krawędzi \(AD\), więc \(|AF|=\frac a2\).
Odcinek \(EF\) jest wysokością ostrosłupa, więc jest prostopadły do płaszczyzny podstawy, a zatem trójkąty \(AFE\) i \(BFE\) są prostokątne przy \(F\):
\[|AE|^{2}=h^{2}+\left(\frac a2\right)^{2},\qquad |BE|^{2}=h^{2}+|BF|^{2}.\]
Z twierdzenia Pitagorasa w podstawie \(|BF|^{2}=a^{2}+\left(\frac a2\right)^{2}\), więc
\[225=h^{2}+\frac{a^{2}}4,\qquad 289=h^{2}+\frac{a^{2}}4+a^{2}.\]
Odejmując stronami, otrzymujemy \(a^{2}=64\), czyli \(a=8\), a następnie \(h^{2}=225-16=209\) i \(h=\sqrt{209}\).
Objętość ostrosłupa:
\[V=\frac13a^{2}h=\frac13\cdot64\cdot\sqrt{209}=\frac{64\sqrt{209}}3.\]
**Odpowiedź.** \(V=\frac{64\sqrt{209}}3\)
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Odpowiedź CKE: \(\frac{64\sqrt{209}}{3}\)
Wymagania podstawy programowej
Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Geometria przestrzenna.
