Trójkąty
Zadanie 103, zbiór zadań z informatora 2010, poziom mieszany
Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|BC|=30\), \(|AC|=40\), \(|AB|=50\). Punkt \(W\) jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Okrąg wpisany w trójkąt \(ABC\) jest styczny do boku \(AB\) w punkcie \(M\). Oblicz długość odcinka \(CM\).
Odpowiedź
\(2\sqrt{145}\)
Rozwiązanie krok po kroku
Trójkąt \(ABC\) jest prostokątny, bo \(30^2+40^2=2500=50^2\); kąt prosty jest przy wierzchołku \(C\).
Odcinki stycznych poprowadzonych z jednego punktu do okręgu mają równe długości. Oznaczając połowę obwodu przez \(p=\frac{30+40+50}{2}=60\), otrzymujemy standardowe wzory na odcinki styczne:
\[\lvert AM\rvert=p-\lvert BC\rvert=60-30=30,\qquad \lvert BM\rvert=p-\lvert AC\rvert=60-40=20.\]
Umieśćmy trójkąt w układzie współrzędnych: \(C=(0,0)\), \(A=(40,0)\), \(B=(0,30)\). Punkt \(M\) leży na \(AB\) w odległości \(30\) od \(A\), a \(\lvert AB\rvert=50\), więc
\[M=A+\tfrac{30}{50}\left(B-A\right)=(40,0)+0{,}6\cdot(-40,30)=(16,18).\]
Stąd
\[\lvert CM\rvert=\sqrt{16^2+18^2}=\sqrt{256+324}=\sqrt{580}=2\sqrt{145}.\]
**Odpowiedź.** \(\lvert CM\rvert=2\sqrt{145}\)
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Odpowiedź CKE: \(2\sqrt{145}\)
Wymagania podstawy programowej
Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Geometria płaska.
