Funkcja kwadratowa
Zadanie 34, sierpień 2015, poziom podstawowy
Funkcja kwadratowa \(f\) określona jest wzorem
\[f(x)=ax^2+bx+c.\]
Zbiorem rozwiązań nierówności \(f(x)>0\) jest przedział \((0,12)\). Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(9\). Oblicz współczynniki \(a,b,c\) funkcji \(f\).
Odpowiedź
\[a=-\frac14,\qquad b=3,\qquad c=0.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Skoro zbiorem rozwiązań nierówności \(f(x)>0\) jest \((0,12)\), miejscami zerowymi są \(0\) i \(12\), a ramiona paraboli są skierowane w dół. Zatem \[f(x)=a x(x-12),\qquad a<0.\] Oś symetrii ma równanie \(x=6\), a największa wartość wynosi \(f(6)=9\). Stąd \[-36a=9,\qquad a=-\frac14.\] Po rozwinięciu: \[f(x)=-\frac14x(x-12)=-\frac14x^2+3x.\] Otrzymujemy \(a=-\frac14\), \(b=3\), \(c=0\).
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – poprawne współczynniki \(a=-\frac14\), \(b=3\), \(c=0\)
**4 pkt** – wyznaczenie \(a=-\frac14\) i poprawnej postaci iloczynowej, lecz błąd w rozwinięciu
**3 pkt** – wykorzystanie wierzchołka \((6,9)\) do wyznaczenia współczynnika \(a\)
**2 pkt** – zapis \(f(x)=ax(x-12)\) i rozpoznanie osi \(x=6\)
**1 pkt** – rozpoznanie miejsc zerowych \(0\) i \(12\)
**0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** funkcje, miejsca zerowe, postać iloczynowa i wierzchołek funkcji kwadratowej.
