Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 34, sierpień 2014, poziom podstawowy
Zbiór \(M\) tworzą wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, w zapisie których występują dwie różne cyfry spośród \(1,2,3,4,5\). Ze zbioru \(M\) losujemy jedną liczbę, przy czym każda liczba z tego zbioru może być wylosowana z tym samym prawdopodobieństwem. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosujemy liczbę większą od \(20\), w której cyfra dziesiątek jest mniejsza od cyfry jedności.
Odpowiedź
P(A) = \(\frac{3}{10}\)
Rozwiązanie krok po kroku
Zbiór \(M\) tworzą liczby dwucyfrowe o dwóch **różnych** cyfrach ze zbioru \(\{1,2,3,4,5\}\). Liczba dwucyfrowa to uporządkowana para cyfr, więc liczymy dwuwyrazowe wariacje bez powtórzeń:
\[|M|=5\cdot4=20.\]
Żadna z cyfr nie jest zerem, więc każda para daje poprawną liczbę. Losowanie jest jednostajne, zatem \(|\Omega|=20\).
Szukamy liczb większych od \(20\), w których cyfra dziesiątek jest mniejsza od cyfry jedności. Drugi warunek wyklucza cyfrę dziesiątek równą \(5\), a pierwszy — równą \(1\), bo liczby o cyfrze dziesiątek \(1\) są mniejsze od \(20\). Pozostają cyfry dziesiątek \(2\), \(3\), \(4\):
\[23,\ 24,\ 25,\ 34,\ 35,\ 45,\]
czyli \(|A|=6\).
Stąd
\[P(A)=\frac6{20}=\frac3{10}.\]
**Odpowiedź.** \(P(A)=\frac3{10}\)
Klucz i zasady oceniania
**1–3 pkt** – \(20\) wyników wszystkich i \(6\) sprzyjających.
**4 pkt** – \(P(A)=\tfrac{3}{10}\).
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 34. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Prawdopodobieństwo i statystyka.
