Graniastosłupy
Zadanie 26, próbna grudzień 2023, poziom podstawowy
Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(384\). Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze \(\alpha\) taki, że
\[\tan\alpha=\frac43.\]
(Zobacz rysunek).
**Oblicz wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
Wysokość ściany bocznej jest równa \(10\).
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy połowę krawędzi podstawy przez \(3x\). Z zależności \(\tan\alpha=\frac43\) wysokość ostrosłupa wynosi \(4x\), a wysokość ściany bocznej, jako przeciwprostokątna trójkąta o przyprostokątnych \(3x\) i \(4x\), ma długość \(5x\). Krawędź podstawy ma długość \(6x\).
Korzystamy ze wzoru na objętość ostrosłupa:
\[384=\frac13(6x)^2\cdot4x=48x^3.\]
Stąd \(x^3=8\), więc \(x=2\). Zatem wysokość ściany bocznej jest równa
\[h_b=5x=10.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – poprawna metoda obliczenia wysokości ściany bocznej oraz wynik \(h_b=10\)
**2 pkt** – obliczenie \(x=2\), krawędzi podstawy \(a=12\), wysokości ostrosłupa \(H=8\) albo zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą \(h_b\)
**1 pkt** – zapisanie proporcji \(3x:4x:5x\) dla połowy krawędzi podstawy, wysokości ostrosłupa i wysokości ściany bocznej oraz podjęcie poprawnej metody
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych w celu rozwiązania problemu.
**Wymagania szczegółowe:**
X.2, X.3 i X.4 kąt między prostą a płaszczyzną, rozpoznawanie kątów w graniastosłupach i ostrosłupach oraz obliczanie objętości ostrosłupów z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń.
