Inne zagadnienia
Zadanie 18, próbna grudzień 2014, poziom podstawowy
Na rysunkach przedstawiono siatki dwóch ostrosłupów. Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa o krawędzi \(a\) jest dwa razy większe od pola powierzchni całkowitej ostrosłupa o krawędzi \(b\). Ile razy objętość ostrosłupa o krawędzi \(a\) jest większa od objętości ostrosłupa o krawędzi \(b\)?
**A.** \(\sqrt2\)
**B.** \(2\)
**C.** \(2\sqrt2\)
**D.** \(4\)
Odpowiedź
**C.** \(2\sqrt2\)
Rozwiązanie krok po kroku
Z rysunku odczytujemy, że obie siatki przedstawiają ostrosłupy tego samego kształtu, różniące się tylko długością krawędzi: \(a\) oraz \(b\). Są to zatem bryły podobne o skali \(k=\frac ab\).
W figurach podobnych pola powierzchni pozostają w stosunku \(k^2\), a objętości w stosunku \(k^3\). Z warunku zadania
\[k^2=2,\qquad\text{czyli}\qquad k=\sqrt2.\]
Stąd stosunek objętości wynosi
\[k^3=\left(\sqrt2\right)^3=2\sqrt2.\]
**Odpowiedź.** C. \(2\sqrt2\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Sprawdzana umiejętność:** stosowanie zależności między skalą podobieństwa brył a stosunkiem ich pól powierzchni i objętości
Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.
