Inne zagadnienia
Zadanie 19, próbna grudzień 2014, poziom podstawowy
Na okręgu o środku \(S\) leżą punkty \(A,B,C,D\). Odcinek \(AB\) jest średnicą tego okręgu. Kąt między tą średnicą a cięciwą \(AC\) jest równy \(21^\circ\) (zobacz rysunek). Kąt \(\alpha\) między cięciwami \(AD\) i \(CD\) jest równy
**A.** \(21^\circ\)
**B.** \(42^\circ\)
**C.** \(48^\circ\)
**D.** \(69^\circ\)
Odpowiedź
**D.** \(69^\circ\)
Rozwiązanie krok po kroku
Z rysunku odczytujemy, że \(AB\) jest średnicą, punkt \(C\) leży nad tą średnicą, a punkt \(D\) — pod nią; kąt \(BAC\) ma miarę \(21^\circ\).
Kąt \(ACB\) jest wpisany i oparty na średnicy, więc \(|\angle ACB|=90^\circ\). Z sumy kątów w trójkącie \(ABC\):
\[|\angle ABC|=180^\circ-90^\circ-21^\circ=69^\circ.\]
Kąty \(ADC\) i \(ABC\) są kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku \(AC\) — punkty \(B\) i \(D\) leżą po tej samej stronie cięciwy \(AC\) — więc mają równe miary:
\[\alpha=|\angle ADC|=|\angle ABC|=69^\circ.\]
**Odpowiedź.** D. \(69^\circ\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymaganie ogólne:**
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymaganie szczegółowe:**
7.1) Zdający stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym.
