Inne zagadnienia
Zadanie 12, próbna grudzień 2014, poziom podstawowy
Z sześcianu \(ABCDEFGH\) o krawędzi długości \(a\) odcięto ostrosłup \(ABDE\) (zobacz rysunek). Ile razy objętość tego ostrosłupa jest mniejsza od objętości pozostałej części sześcianu?
**A.** \(2\) razy.
**B.** \(3\) razy.
**C.** \(4\) razy.
**D.** \(5\) razy.
Odpowiedź
**D.** \(5\) razy.
Rozwiązanie krok po kroku
Z rysunku odczytujemy, że odcięty ostrosłup \(ABDE\) ma wierzchołek w narożu \(A\) sześcianu, a trzy jego krawędzie wychodzące z \(A\) — czyli \(AB\), \(AD\) i \(AE\) — są krawędziami sześcianu i są parami prostopadłe.
Podstawą jest trójkąt prostokątny \(ABD\) o polu \(\frac12a^2\), a wysokością krawędź \(AE\) długości \(a\), więc
\[V_{ABDE}=\frac13\cdot\frac12a^2\cdot a=\frac{a^3}{6}.\]
Pozostała część sześcianu ma objętość
\[a^3-\frac{a^3}{6}=\frac{5a^3}{6},\]
czyli \(5\) razy większą od objętości ostrosłupa.
**Odpowiedź.** D. \(5\) razy.
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymaganie ogólne:**
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymaganie szczegółowe:**
G11.2) Zdający oblicza pole powierzchni i objętość graniastosłupa prostego, ostrosłupa, walca, stożka, kuli — także w zadaniach osadzonych w kontekście praktycznym.
