Równania i nierówności
Zadanie 26, maj 2023, poziom podstawowy
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30^\circ\) i ma długość równą \(6\) (zobacz rysunek).
**Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\(V=108\), \(P_c=108+72\sqrt3\)
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(H\) oznacza wysokość ostrosłupa, \(a\) - długość krawędzi podstawy, a \(E\) - środek boku podstawy. W trójkącie prostokątnym utworzonym przez wysokość ściany bocznej długości \(6\) mamy
\[H=6\sin30^\circ=3,\]
oraz
\[\frac a2=6\cos30^\circ=3\sqrt3,\qquad a=6\sqrt3.\]
Objętość wynosi
\[V=\frac13a^2H=\frac13(6\sqrt3)^2\cdot3=108.\]
Pole podstawy jest równe \(a^2=108\), a łączne pole czterech ścian bocznych:
\[4\cdot\frac12\cdot a\cdot6=72\sqrt3.\]
Zatem
\[P_c=108+72\sqrt3.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda obliczenia objętości i pola powierzchni całkowitej oraz wyniki \(V=108\), \(P_c=108+72\sqrt3\)
**3 pkt** – obliczenie objętości \(V=108\) albo obliczenie pola \(P_c=108+72\sqrt3\) wraz z wysokością \(H=3\)
**2 pkt** – wyznaczenie \(a=6\sqrt3\) i \(H=3\) albo obliczenie pola \(P_c=108+72\sqrt3\)
**1 pkt** – wyznaczenie \(a=6\sqrt3\) albo \(H=3\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.
**Wymagania szczegółowe:**
X.4 zdający oblicza objętości i pola powierzchni ostrosłupów, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń.
