Graniastosłupy
Zadanie 26, maj 2022, poziom podstawowy
Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\) o krawędzi długości \(a\). Punkty \(E\), \(F\), \(G\), \(B\) są wierzchołkami ostrosłupa \(EFGB\) (zobacz rysunek).
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa \(EFGB\) jest równe
**A.** \(a^2\)
**B.** \(\frac{3\sqrt3}{2}a^2\)
**C.** \(\frac32a^2\)
**D.** \(\frac{3+\sqrt3}{2}a^2\)
Odpowiedź
**D.** \(\frac{3+\sqrt3}{2}a^2\)
Rozwiązanie krok po kroku
Ściany \(EFB\), \(FBG\) i \(EFG\) są trójkątami prostokątnymi o przyprostokątnych długości \(a\), więc suma ich pól wynosi \(3\cdot\frac12a^2=\frac32a^2\). Odcinki \(EB\), \(BG\) i \(GE\) są przekątnymi ścian sześcianu, każdy ma długość \(a\sqrt2\). Trójkąt \(EBG\) jest równoboczny, zatem
\[P_{EBG}=\frac{(a\sqrt2)^2\sqrt3}{4}=\frac{\sqrt3}{2}a^2.\]
Łącznie
\[P_c=\frac32a^2+\frac{\sqrt3}{2}a^2=\frac{3+\sqrt3}{2}a^2.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **D**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
I. wykorzystanie i tworzenie informacji.
**Wymagania szczegółowe:**
G11.2 obliczanie pola powierzchni ostrosłupa.
