Okręgi i koła
Zadanie 9, maj 2017, poziom rozszerzony
W czworościanie foremnym o krawędzi długości \(6\) umieszczono kulę styczną do każdej ściany. Płaszczyzna \(\pi\) równoległa do podstawy dzieli czworościan na ostrosłup o objętości równej \(\frac8{27}\) objętości czworościanu i ostrosłup ścięty. Oblicz odległość środka \(S\) kuli od płaszczyzny \(\pi\).
Odpowiedź
\[d=\frac{\sqrt6}{6}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Wysokość czworościanu foremnego o krawędzi \(6\) jest równa \(H=2\sqrt6\). Promień kuli wpisanej to \(R=\frac14H=\frac{\sqrt6}{2}\). Stosunek objętości podobnych czworościanów wynosi \(\frac8{27}\), więc skala podobieństwa jest równa \(\frac23\). Płaszczyzna leży zatem na wysokości \(\frac13H\) nad podstawą. Szukana odległość wynosi
\[d=\frac13H-R=\frac{2\sqrt6}{3}-\frac{\sqrt6}{2}=\frac{\sqrt6}{6}.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – obliczenie \(d=\frac{\sqrt6}{6}\)
**3 pkt** – wyznaczenie zależności \(d=\frac13H-\frac14H\) albo wszystkich wielkości \(H=2\sqrt6\), wysokości odciętego czworościanu i \(R=\frac{\sqrt6}{2}\)
**2 pkt** – poprawne wyznaczenie dwóch kluczowych wielkości spośród wysokości, skali \(\frac23\) i promienia kuli
**1 pkt** – poprawne wyznaczenie jednej z nich albo poprawna interpretacja odległości
**0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
CKE IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
stereometria, podobieństwo brył i twierdzenie Pitagorasa.
