Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 11, maj 2017, poziom rozszerzony
W pudełku znajduje się \(8\) piłeczek oznaczonych liczbami od \(1\) do \(8\). Trzykrotnie losujemy ze zwracaniem po jednej piłeczce i zapisujemy otrzymane liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn trzech zapisanych liczb jest podzielny przez \(4\). Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego.
Odpowiedź
\[P(A)=\frac{11}{16}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Wszystkich uporządkowanych wyników jest \(|\Omega|=8^3=512\). Wygodniej policzyć zdarzenie przeciwne. Iloczyn nie dzieli się przez \(4\), gdy wszystkie trzy liczby są nieparzyste: \(4^3=64\), albo dokładnie jedna liczba należy do \(\{2,6\}\), a dwie są nieparzyste: \(3\cdot2\cdot4^2=96\). Zatem
\[P(A)=1-\frac{64+96}{512}=\frac{11}{16}.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – obliczenie \(P(A)=\frac{11}{16}\)
**3 pkt** – wyznaczenie \(|\Omega|=512\) oraz \(|A|=352\) lub \(|A'|=160\)
**2 pkt** – wyznaczenie przestrzeni i większości rozłącznych przypadków albo poprawne policzenie \(|A|\) lub \(|A'|\)
**1 pkt** – wyznaczenie \(|\Omega|=8^3\) albo poprawne rozpisanie przypadków
**0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
CKE IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
kombinatoryka, wariacje z powtórzeniami i klasyczne prawdopodobieństwo.
